Maîtriser les bases du calcul à une variable - Un guide pour débutants

Q: Qu'est-ce que la règle de la chaîne ?

La règle de la chaîne est un concept fondamental en calcul à une variable qui est utilisé pour différencier les fonctions composées. Une fonction composée est une fonction qui est constituée de deux fonctions ou plus qui sont combinées ensemble.

Dans ce cours, nous fournirons un aperçu complet du calcul à une variable, comprenant des concepts clés tels que les limites, les dérivées et les intégrales.

Table des matières

Qu'est-ce qui est inclus dans un cours de calcul ?

Les 23 sujets suivants sont généralement inclus dans un cours de calcul

1. Limites

Les fonctions ne sont pas toujours définies pour toutes les entrées. Par exemple, la division par zéro n'est pas autorisée. Pour voir comment la fonction se comporte près d'une telle entrée, nous étudions la limite lorsque l'entrée approche ce point.

2. Continuité

Les entiers sont considérés comme des nombres discrets; ils sont distribués avec des lacunes entre eux. L'ensemble des nombres réels, cependant, est continu, car entre deux réels, vous en trouverez toujours plus. Le même concept s'étend aux fonctions, où une fonction continue est celle sans lacunes.

3. Dérivées

La dérivée d'une fonction donne son taux de changement instantané en tout point. Cela est analogue à la pente d'une ligne parallèle à la fonction à cet endroit, qui, avec le concept de limites, formule la définition de la dérivée : $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

4. Règles de différentiation

Trouver des dérivées n'est pas toujours simple en utilisant la définition. Heureusement, le sujet est bien étudié, et plusieurs règles pratiques ont été découvertes, simplifiant la tâche en fonction de la forme de la fonction.

5. Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires est simple mais puissant : entre deux points sur une fonction continue, la dérivée sera quelque part égale à la pente de la ligne reliant les points.

6. Dérivées implicites

Si y n'est pas une fonction de x, mais que nous avons toujours une relation entre les deux par une équation, nous ne pouvons pas formuler la dérivée comme une fonction de x. C'est le cas d'un cercle de rayon $a$ : $$x^2 + y^2 = a^2$$ Une ligne tangente à ce cercle aura une pente de $ -\frac{y}{x}$. Cette dérivée est implicite, contrairement à explicite en fonction de $x$ seul.

7. Fonctions inverses

Une fonction est une façon de traiter les nombres. Vous entrez un nombre et obtenez un nouveau. L'inverse d'une fonction est alors un processus de refaire, qui prend la vieille sortie et rend l'entrée initiale.

8. Antidérivées

Comme le suggère le nom, les antidérivées sont les inverses des dérivées. Si une fonction $f(x)$ a pour dérivée $f'(x)$, $f(x)$ est une antidérivée de $f'(x)$. Une fonction $f(x)$ peut à son tour avoir des antidérivées propres, généralement notées $F(x) + C$. La constante $C$ peut toujours être ajoutée car la dérivée élimine toutes les constantes.

9. Le logarithme naturel

Le logarithme naturel $$\ln(x) = \log_{e}(x)$$ est la fonction logarithmique avec le nombre d'Euler $e$ comme base. Les logarithmes et les fonctions exponentielles ont une relation inverse l'une par rapport à l'autre, et ainsi le logarithme naturel demande : Quel est l'exposant $a$ qui rend $e^{a} = x$.

10. Dérivées des logarithmes et des exponentielles

Une propriété clé de la fonction exponentielle naturelle $e^{x}$ est qu'elle constitue sa propre dérivée. Cela, avec quelques règles d'exponentiation et de dérivation, peut être utilisé pour trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle : $$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln{a}$$ De manière similaire, le fait que la dérivée du logarithme naturel est $1/x$ nous aide à déterminer la dérivée de la fonction logarithmique générale : $$\frac{d}{dx}\log_{a}(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

11. Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques fournissent des informations sur le rapport des longueurs des côtés $a$, $b$ et $c$ dans un triangle rectangle, étant donné un angle $x$. Maintenant, les fonctions trigonométriques inverses vont dans l'autre sens et exposent les angles, étant donné ces rapports : $$\sin(x) = \frac{a}{c} \implies \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = x$$ $$\cos(x) = \frac{b}{c} \implies \arccos\left(\frac{b}{c}\right) = x$$ $$\tan(x) = \frac{a}{b} \implies \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = x$$

12. Valeurs extrêmes et esquisses

Visualiser une fonction en la dessinant peut être d'une grande aide pour comprendre le problème modélisé par la fonction. Les valeurs extrêmes se produisent à des points qui sont particulièrement intéressants ou utiles pour représenter le tableau.

13. Optimisation

Les techniques d'optimisation impliquent souvent une grande partie du calcul. L'idée principale est ce que nous pouvons dire sur une fonction et sa dérivée là où elle prend sa valeur maximale. Comme elle ne va pas augmenter quelle que soit la direction dans laquelle nous changeons $x$, nous trouvons ce point où la dérivée est égale à zéro.

14. Polynômes de Taylor

Toute fonction mathématique $f(x)$ peut être écrite sous forme de polynôme de cette forme particulière : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Ce polynôme de Taylor, bien qu'il puisse être d'ordre infini, donne souvent une bonne approximation en considérant suffisamment de termes et en laissant le point de référence $a$ être proche du point $x$ qui nous intéresse. Les termes impliquant des dérivées d'ordre supérieur peuvent alors être négligés sans perte significative de précision.

15. Calcul des limites

Lorsque la limite d'une fonction n'est pas immédiatement évidente, il existe certaines techniques que nous pouvons employer pour la trouver. Il se pourrait par exemple que la fonction soit le rapport de deux expressions qui tendent toutes deux vers l'infini à mesure que $x$ augmente. Dans un tel cas, nous devons considérer laquelle d'entre elles augmente plus rapidement par rapport à l'autre. Une méthode pour déterminer cela est de comparer les dérivées des expressions.

16. Intégrales

Les intégrales, notées par le symbole emblématique $int$, sont étroitement liées aux antiderivatives. Il s'avère que l'évaluation de l'antidérivée d'une fonction en deux points et le calcul de la différence révèle des informations fondamentales sur la situation que la fonction décrit.

17. Techniques d'intégration

Tout comme il existe des raccourcis pour trouver la dérivée d'une fonction, nous pouvons souvent utiliser des méthodes standard pour intégrer une fonction en fonction du type de fonction que nous avons devant nous.

18. Applications et intégrales impropres

Un résultat quelque peu contre-intuitif du calcul est qu'une fonction s'étendant infiniment dans une direction peut néanmoins contenir une aire de taille finie. À la lumière de ce phénomène, il est important de ne pas sauter à des conclusions hâtives lors de la manipulation d'intégrales impropres ; des intégrales impliquant des infinis.

19. Séries

Une série $S$ est une somme de termes infiniment nombreux : $$S = \sum_{n}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$ L'addition est probablement l'opération mathématique la plus basique et intuitive qui soit, et les séries offrent souvent des moyens agréables et simples de résoudre des problèmes difficiles.

20. Sums de Riemann et approximation intégrale

Si vous avez du mal à comprendre la manière apparemment magique de calculer des aires à l'aide d'intégrales, vous n'êtes pas seul. Ce n'est que lorsque l'intégration a été justifiée par l'analogie avec des sommes de segments infinitésimaux, appelées sommes de Riemann, que la plupart des mathématiciens ont commencé à accepter la méthode.

21. Méthodes numériques

Calculer des intégrales analytiquement peut être douloureux pour des fonctions compliquées. Dans certains cas, ce n'est même pas possible en raison du fait que toutes les fonctions n'ont pas d'antidérivées. En de telles situations, nous sommes heureux d'avoir des méthodes numériques à notre service.

22. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Contrairement aux équations régulières, où nous cherchons à trouver la valeur d'une variable $x$, les équations différentielles expliquent une relation entre une fonction et sa dérivée, et ce que nous recherchons est la fonction d'origine. Une équation différentielle linéaire du premier ordre peut s'écrire sous la forme : $$f'(x) + af(x) = 0$$

23. Équations différentielles linéaires du second ordre

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant non seulement la dérivée de la fonction que nous voulons trouver, mais aussi la dérivée de cette dérivée : $$f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0$$

Qu'est-ce que le calcul à une variable ?

Le calcul à une variable est une branche des mathématiques qui traite de l'étude des fonctions et de leurs taux de changement. Il implique les concepts de dérivées et intégrales, qui sont utilisés pour étudier le comportement des fonctions et résoudre des problèmes dans un large éventail de domaines, notamment la physique, l'ingénierie et l'économie.

Le calcul à une variable est généralement divisé en deux sous-domaines : le calcul différentiel, qui traite de l'étude des taux de changement, et le calcul intégral, qui traite de l'étude de l'accumulation des quantités. Ensemble, ces deux sous-domaines forment la base de grande partie du calcul moderne.

FAQ

Qu'est-ce qu'une limite ?

Une limite est un concept qui décrit le comportement d'une fonction à mesure que ses entrées se rapprochent de plus en plus d'une valeur spécifique. La limite d'une fonction à un point particulier est la valeur vers laquelle la fonction tend lorsque les entrées se rapprochent de ce point.

Qu'est-ce que le théorème des valeurs intermédiaires ?

Le théorème des valeurs intermédiaires stipule que pour une courbe s'étendant d'un point à un autre, il existera au moins un autre point sur la courbe où sa tangente est parallèle à la ligne droite entre les points d'extrémité.

Qu'est-ce que la règle de la chaîne ?

La règle de la chaîne est un concept fondamental du calcul à une variable qui est utilisé pour différencier les fonctions composites. Une fonction composite est une fonction constituée de deux fonctions ou plus combinées. Par exemple, si nous avons deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$, nous pouvons créer une nouvelle fonction $h(x)$ qui est la composition de $f(x)$ et $g(x)$ en définissant $h(x)$ comme $h(x) = f(g(x))$.

Qu'est-ce que le théorème fondamental du calcul ?

Le théorème fondamental du calcul est un résultat fondamental du calcul à une variable qui établit la connexion entre les concepts de la dérivation et de l'intégration. Il y a deux parties au théorème, toutes deux importantes pour comprendre la relation entre ces deux concepts.

La première partie du théorème stipule que l'intégrale définie d'une fonction sur un intervalle peut être calculée en évaluant la fonction aux points d'extrémité de l'intervalle et en prenant la différence.

La deuxième partie du théorème stipule que l'intégrale indéfinie d'une fonction (également appelée son antiderivée) peut être trouvée en évaluant une certaine intégrale définie. Ensemble, ces deux parties du théorème fournissent un outil puissant pour résoudre une large gamme de problèmes en calcul.

À quoi sert le calcul ? - 6 cas d'utilisation pratiques

1. Calculs et analyses des prix des biens

Avec l'aide des dérivées implicites, on peut résoudre des équations où la différenciation ordinaire atteint ses limites. Par exemple, pour pouvoir prédire les prix des biens, il faut comprendre la relation entre de nombreuses variables différentes qui affectent leur prix. Dans une économie de marché, le prix de tous les biens est déterminé en fonction de l'offre et de la demande, les dérivées implicites sont donc indispensables pour tous les courtiers en bourse !

2. Chiffrement

Une fonction de chiffrement prend un message en entrée, le mélange et renvoie un message mélangé. Pour déchiffrer un message, il faut trouver la fonction inverse qui inverse le chiffrement.

L'un des exemples les plus célèbres de chiffrement était l'Enigma, utilisée par les Allemands pendant la Seconde Guerre mondiale pour chiffrer leurs messages. Dans l'Enigma, chaque lettre était automatiquement réassignée à une nouvelle lettre, rendant le chiffre plus difficile à casser.

Les cryptologues ont finalement inventé une machine pour trouver les réglages de l'Enigma. Le décryptage du code Enigma, crucial pour l'issue de la guerre, signifiait construire une fonction inverse.

3. Datation au carbone 14 de la matière organique

Le carbone 14 est une forme de carbone présente dans tous les êtres vivants. Cependant, lorsque qu'un organisme meurt, cet élément radioactif commence à se désintégrer avec le temps. Par conséquent, en mesurant la quantité de carbone 14 présente dans un objet mort, la datation au radiocarbone nous indique depuis combien de temps l'organisme est mort.

Cette désintégration est exponentielle, ce qui signifie que le taux de diminution dépend de la quantité actuelle restante. Alors que la fonction exponentielle nous dit combien de carbone 14 reste au moment $t$, le logarithme naturel répond à la question : Étant donné la quantité de carbone 14 restante, quel est $t$ ?

4. Dosage des médicaments

Pour que le taux de sucre dans le sang n'atteigne pas un niveau dangereux chez les diabétiques, les moniteurs de glucose mesurent la quantité actuelle dans le sang et signalent lorsque le niveau devient trop élevé.

Le signal est envoyé à une pompe à insuline, qui injecte ensuite une dose de cette hormone cruciale. Elle aide le corps à transférer le glucose du sang aux cellules où il est utilisé comme carburant, et donc à abaisser le niveau dans le sang.

Si nous considérons la quantité de sucre dans le sang enregistrée par un moniteur continu de glucose comme une fonction du temps, elle détermine où et quelles seront les valeurs extrêmes de la fonction. Essentiellement, c'est esquisser le graphique.

5. Diagnostic du cancer

Le domaine médical a fait beaucoup de progrès ces dernières années en ce qui concerne le traitement du cancer. Bien que ce ne soit pas encore parfait, le processus de guérison des patients de la maladie a été optimisé de nombreuses manières.

Avec les techniques modernes d'apprentissage automatique, les équipes médicales peuvent utiliser divers types d'imagerie pour scanner les tissus d'un patient et détecter des tumeurs.

Une partie cruciale des algorithmes de vision par ordinateur utilisés pour diagnostiquer les patients à partir d'images est de maximiser la probabilité du programme de trouver des cellules cancéreuses, tout en minimisant les risques de faire des prédictions erronées.

Après le diagnostic, un autre type d'optimisation entre en jeu, car il est temps de se débarrasser de la tumeur.

Pour une radiothérapie réussie, il est important de trouver un équilibre entre la quantité de rayonnement nécessaire pour tuer les cellules malignes, tout en ne dépassant pas un niveau global malsain.

6. Prédiction des populations au fil du temps

Depuis 1970, l'humanité a éradiqué plus de 60 % de toutes les populations animales. Mais nous avons commencé bien plus tôt : des exemples d'extinction provoquée par l'homme remontent à plus de cent mille ans.

Par exemple, l'arrivée des humains en Amérique du Sud est la raison la plus probable pour laquelle l'animal appelé le paresseux terrestre géant a disparu il y a environ onze mille ans.

Les équations différentielles nous permettent de calculer combien d'animaux d'une population donnée il y aura à un moment donné ultérieur. Nous n'avons besoin que de savoir combien nous commençons et comment la quantité change.

Le calcul à une variable est-il difficile ?

Le calcul en une variable est le cours qui ressemble le plus aux mathématiques du secondaire, ce qui a tendance à rendre les étudiants confiants. Mais attention, de nombreux étudiants obtiennent des résultats inférieurs à ce qu'ils pensaient obtenir à l'examen.

La raison pour laquelle les étudiants font moins bien que prévu est qu'ils ont l'impression d'une fausse sécurité, car la plupart du matériel peut être reconnu à partir du calcul du secondaire. Cependant, le calcul universitaire a tendance à être beaucoup plus exigeant, tant sur le plan théorique que dans la résolution de problèmes. On pourrait dire que c'est la grande réinitialisation du parcours mathématique de tout étudiant.

La partie la plus difficile du calcul à une variable est généralement considérée comme le concept de limites. Pour comprendre le calcul, il est essentiel de pouvoir saisir l'idée d'une limite, qui est un concept fondamental sous-tendant bon nombre des autres idées en calcul. Une limite décrit le comportement d'une fonction à mesure que ses entrées se rapprochent de plus en plus d'une valeur spécifique, et comprendre comment évaluer les limites est crucial pour pouvoir travailler avec les dérivées et les intégrales.

D'autres concepts difficiles en calcul à une variable comprennent la règle de la chaîne, qui est utilisée pour différencier les fonctions composites, et le théorème fondamental du calcul, qui relie les concepts de dérivation et d'intégration.

Bon plan pour le calcul et liste de tâches courtes

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