Cours
Algebre lineaire

Maîtrisez l'algèbre linéaire - Concepts clés tels que les matrices, les déterminants et les transformations linéaires

Dans ce cours, nous fournirons un aperçu complet de l'algèbre linéaire, comprenant des concepts clés tels que les espaces vectoriels, les transformations linéaires et les opérations matricielles.

Table des matières

    Qu'est-ce qui est inclus dans un cours d'algèbre linéaire ?

    Les 28 sujets suivants sont généralement inclus dans un cours d'algèbre linéaire

    1. Vecteurs
    Un vecteur en physique représente une force avec une direction, une magnitude et une origine données. Mais en algèbre linéaire, un vecteur a les deux premières propriétés mais manque d'une origine. Par conséquent, il peut être déplacé si nécessaire.
    2. Lignes et plans dans l'espace
    L'équation d'une ligne droite est uniquement définie pour deux dimensions. Cela ne les empêche cependant pas d'exister dans des dimensions supérieures, où nous les définissons sous forme paramétrique ou vectorielle.
    3. Systèmes linéaires d'équations
    Regrouper plusieurs équations crée un système d'équations, et une solution pour le système doit résoudre chacune des équations du système. Le système est dit linéaire si chaque équation est de la forme : $$ a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n $$
    4. Gauss-Jordan
    Gauss-Jordan est une méthode pour résoudre un système linéaire d'équations. Chaque système tombe dans l'un des trois cas : solution unique, pas de solutions ou une infinité de solutions.
    5. Arithmétique des matrices
    Les opérations arithmétiques des matrices sont définies pour l'addition, la soustraction et la multiplication. Pour les deux premières, les matrices doivent avoir des dimensions égales et les opérations sont commutatives. La multiplication n'est cependant pas commutative et n'est définie que lorsque le nombre de lignes de la matrice de gauche est égal au nombre de colonnes de la matrice de droite.
    6. Matrices inverses
    L'inverse d'une matrice est une autre matrice, et le produit de la matrice et de son inverse est la matrice identité.
    7. Dépendance linéaire
    Si un vecteur peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs, le groupe est alors considéré comme linéairement dépendant. Sinon, les vecteurs sont considérés comme linéairement indépendants.
    8. Espace de solution
    Un espace de solution est l'espace vectoriel contenant toutes les solutions à un système donné. Il suit les propriétés des espaces vectoriels, donc si $\vec{x}_1$ et $\vec{x}_1$ sont des solutions à $$A\vec{x} = \vec{b}$$ alors nous avons que $$k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2$$ est une solution pour toutes les valeurs de $k_1,k_2$.
    9. Matrices de forme spéciale
    Trois types de matrices de forme spéciale sont les matrices diagonales ($D$), les matrices triangulaires ($T$) et les matrices symétriques ($S$) et les matrices antisymétriques ($S_k$). $$ \begin{aligned} D &= \left[\begin{array}{cc} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{array}\right] ,\quad T &&= \left[\begin{array}{cr} t_1 & \phantom{-}0 \\ t_2 & t_3 \end{array}\right] \\ S &= \left[\begin{array}{cc} s_1 & s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] ,\quad S_k &&= \left[\begin{array}{cr} s_1 & -s_2 \\ s_2 & s_3 \end{array}\right] \end{aligned} $$
    10. Déterminant
    Le déterminant est une représentation scalaire d'une matrice, définie par un calcul spécifique. L'interprétation géométrique est qu'il s'agit d'un facteur d'échelle pour la transformation linéaire que la matrice représente. Il parle également de savoir si le système d'équations linéaires que la matrice représente a une solution unique ou non.
    11. Produit vectoriel, aire et volume
    Le produit vectoriel est un calcul entre deux vecteurs en trois dimensions, et le résultat est un troisième vecteur qui est unique et orthogonal aux deux premiers. La longueur du vecteur résultant est égale à l'aire du parallélogramme que les deux vecteurs forment. Le produit vectoriel peut également être utilisé pour calculer le volume d'un parallélépipède, dans le cadre du calcul appelé produit triple. Étant donné le volume engendré par les trois vecteurs, on calcule un produit vectoriel entre deux d'entre eux, puis on fait un produit scalaire entre le vecteur résultant et le troisième vecteur.
    12. Valeurs propres et vecteurs propres
    Les valeurs propres et les vecteurs propres sont liés à une matrice carrée donnée A. Un vecteur propre est un vecteur qui ne change pas de direction lorsqu'il est multiplié par A, il peut cependant changer de longueur. Lorsque cela est applicable, la longueur est modifiée par un scalaire, qui est la valeur propre correspondante au vecteur propre.
    13. Transformations linéaires
    Toutes les multiplications de matrices sont des transformations linéaires. Dans le cas général, une transformation pourrait être vue comme une fonction, ou une boîte noire, qui, pour toute entrée donnée, a une sortie. La définition pour que la transformation soit linéaire est que l'opération est cohérente pour deux éléments d'entrée, dans notre cas, deux vecteurs. Soit L une transformation, x et y des vecteurs, et c et k des scalaires. Alors L est une transformation linéaire si, et seulement si, $$L(cx + ky) = cL(x) + kL(y)$$
    14. Noyau et image
    Le noyau et l'image sont des sous-espaces liés à une transformation linéaire L représentée par la matrice standard A. Le noyau fait référence à l'espace des solutions du système homogène d'équations linéaires que la matrice A représente, c'est-à-dire les solutions à $$Ax = 0$$ L'image fait référence au sous-espace de tous les vecteurs résultants y de la multiplication de la matrice A par tous les vecteurs possibles x. $$Ax = y$$
    15. Compositions de transformations linéaires
    Les compositions de transformations linéaires consistent à traiter plusieurs transformations linéaires en séquence. Par exemple, disons que $T$, $R$ et $S$ sont des transformations linéaires. Une composition est alors, par exemple, la sortie $y$ du vecteur $x$ pour $$T \circ R \circ S(x) = y$$
    16. Base et dimension
    Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants (par exemple $\vec{v_1}, \ldots \vec{v}_n$) qui englobe un espace vectoriel ou un sous-espace. Cela signifie que tout vecteur $\vec{x}$ appartenant à cet espace peut être exprimé comme une combinaison linéaire de la base pour un ensemble unique de constantes $k_1, \ldots k_n$, telles que : $$ \vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \ldots + k_n\vec{v}_n $$ La dimension de l'espace vectoriel correspond au nombre de vecteurs nécessaires pour former une base (la base n'est pas unique). Dans cet exemple, $n$.
    17. Espace nul et espace des colonnes
    L'espace nul (ou communément appelé noyau) et l'espace des colonnes (ou communément appelé image) sont des espaces liés à une certaine matrice $A$. L'espace nul est simplement le nom de l'espace des solutions pour l'équation homogène $A\vec{x} = \vec{0}$. L'espace des colonnes (ou communément appelé image) est la plage de la transformation linéaire avec la matrice standard $A$, ce qui signifie tous les vecteurs possibles $\vec{y}$ qui peuvent être mappés via une multiplication par $A$, de sorte que $A\vec{x} = \vec{y}$.
    18. Théorème de la dimension
    Le théorème de la dimension s'applique à une matrice et à son rang (dimension de l'espace des colonnes) et à sa nullité (dimension de l'espace nul). Soit $A$ une matrice $m \times n$, alors nous avons selon le théorème de la dimension que : $$ \operatorname{rang}(A) + \operatorname{nullité}(A) = n $$
    19. Théorème de la projection
    Par projection, on fait généralement référence à la projection orthogonale d'un vecteur sur un autre. Le résultat est la contribution représentative du premier vecteur le long de l'autre vecteur projeté. Imaginez avoir le soleil au zénith, projetant une ombre du premier vecteur strictement vers le bas (orthogonalement) sur le deuxième vecteur. Cette ombre est alors la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième vecteur.
    20. Moindres carrés
    Les moindres carrés sont une méthode appliquée à l'analyse de données et aux statistiques. Elle est utilisée pour décrire la relation entre un certain nombre d'observations et leurs variables explicatives. Supposons que vous ayez un certain nombre d'observations (xn, yn), dont vous souhaitez modéliser la relation par une équation linéaire $$c_1x + c_2 = y$$ où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes que nous aimerions déterminer afin d'obtenir l'ajustement optimal de notre ligne aux données. Cela se fait en minimisant la somme de toutes les erreurs, c'est-à-dire la distance à la ligne et à chacun des points de données observés. Cela se calcule facilement en transformant d'abord le système d'équations linéaires en une équation matricielle $$Ac = y$$ et ensuite en multipliant par la transposée de la matrice A par la gauche des deux côtés $$A^TAc = A^Ty$$ ce qui donne un système de matrices carrées ayant une solution unique. La solution est le vecteur c, composé de nos constantes recherchées $c_1$ et $c_2$.
    21. Gram-Schmidt
    Gram-Schmidt est un algorithme permettant de trouver une base orthonormale à un sous-espace donné. L'entrée de l'algorithme est une base connue non orthonormale, et en appliquant le théorème de la projection en séquence, on trouve les vecteurs de base un par un.
    22. Changement de base
    Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui englobent un sous-espace. Un vecteur est un élément d'un sous-espace, où ses coordonnées sont les représentants scalaires de la combinaison linéaire qui peut être exprimée par les vecteurs de base. Comme une base n'est pas unique pour un sous-espace, chaque vecteur de ce sous-espace peut être exprimé avec des coordonnées pour chacun de ses ensembles de bases.
    23. Transformations linéaires et bases
    Une transformation linéaire est toujours définie par rapport à une base donnée. Un défi courant est de déterminer la matrice standard A pour une transformation linéaire donnée avec une autre base.
    24. Diagonalisation
    La diagonalisation est un processus de décomposition d'une matrice carrée A en produit de trois matrices : D, P et P^{-1}, telles que $$A = PDP^{-1}$$ où D est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de A et P est une matrice carrée dont les colonnes sont les vecteurs propres de A. Notez que toutes les matrices carrées ne peuvent pas être diagonalisées, seules celles dont les vecteurs propres englobent l'espace R^n.
    25. Diagonalisation orthogonale
    La diagonalisation orthogonale est la même que la diagonalisation régulière, avec l'exigence étendue que les vecteurs propres doivent former une base orthonormale pour R^n. Seules les matrices symétriques peuvent être diagonalisées orthogonalement. Le processus de décision des vecteurs pour la matrice P consiste à appliquer Gram-Schmidt. Ensuite, en raison de la propriété des matrices symétriques, on a que $$A = PDP^{-1} = PDP^T$$
    26. Forme quadratique
    Les équations de la forme $$a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + ... + a_nx_n^2$$ + tous les termes croisés possibles $a_kx_ix_j$ avec $x_ix_j$ distincts sont appelées formes quadratiques et peuvent être exprimées avec une matrice unique A $$x^TAx$$ et sa forme géométrique peut être déterminée en étudiant les valeurs propres de la matrice A.
    27. Espaces vectoriels généraux
    Les espaces vectoriels n'ont pas besoin d'être construits à partir de nombres ; ils peuvent être appliqués à partir d'une approche beaucoup plus générale. Une application populaire dans un cours d'algèbre linéaire consiste à couvrir les espaces polynomiaux, où chaque élément de l'espace est un polynôme. Confus ? Cela peut l'être au début, mais ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît à première vue. La chose cruciale est de connaître les axiomes définissant un espace vectoriel V et de s'y conformer. Ces axiomes sont

    • L'espace V est fermé sous l'addition et la multiplication par un scalaire
    • L'addition est à la fois commutative et associative
    • La multiplication par un scalaire est à la fois commutative et associative
    • Existence d'une identité et d'une inverse pour l'addition
    • Existence d'une identité et d'une inverse pour la multiplication par un scalaire
    28. Transformations linéaires générales

      Qu'est-ce que l'algèbre linéaire ?

      L'algèbre linéaire est une branche des mathématiques qui étudie, entre autres, les équations de la forme : $$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b$$ Vous étudiez généralement l'algèbre linéaire d'abord à l'université, mais certaines personnes bénéficient d'une introduction plus facile au sujet dès le lycée. Beaucoup associent un cours d'algèbre linéaire à des concepts tels que les vecteurs, les matrices, les systèmes d'équations linéaires, les droites et plans. Toutes ces associations sont correctes et peuvent également être déduites de la forme d'équation ci-dessus.

      FAQ

      Qu'est-ce qu'une droite en algèbre linéaire ?

      Si l'équation est bidimensionnelle, c'est une droite : $$a_1x_1 + a_2x_2 = b$$

      Qu'est-ce qu'un plan en algèbre linéaire ?

      Si l'équation est tridimensionnelle, c'est un plan : $$a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = b$$

      Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

      Si nous avons plusieurs équations de la même forme, elles peuvent être considérées comme un système d'équations. La solution du système doit satisfaire toutes les équations du système. Un système d'équations peut être réécrit sous la forme : $$A\vec{x} = \vec{b}$$ en utilisant la matrice ($A$) et les deux vecteurs $\vec{x}, \vec{b}$.

      Qu'est-ce qu'un vecteur ?

      Un vecteur en algèbre linéaire est généralement traité comme un groupe de nombres et représente une représentation coordonnée. Plusieurs exemples de différentes dimensions, c'est-à-dire le nombre de coordonnées, sont : $$(1,2), (1,-4,2), (99, 104, 3, -7)$$ Alors qu'un vecteur en physique est généralement représenté comme une flèche et représente une force avec une direction et une magnitude. L'idée qu'un vecteur est une force suit généralement en mathématiques, mais ici, les vecteurs sont étudiés dans un sens abstrait. En pratique, un vecteur peut être bien plus qu'une force en physique. Un vecteur peut être une liste d'informations en programmation, une image en analyse d'images, un changement de prix d'une action au fil du temps en finance, et bien plus encore.

      Qu'est-ce qu'un produit vectoriel ?

      Le produit vectoriel est un calcul entre deux vecteurs en trois dimensions, et le résultat est un troisième vecteur unique et orthogonal aux deux premiers. La longueur du vecteur résultant est égale à la superficie du parallélogramme que les deux vecteurs délimitent.

      À quoi sert l'algèbre linéaire ? - 7 cas d'utilisation pratiques

      L'algèbre linéaire est le socle de tout ce que nous voyons dans notre vie quotidienne. C'est grâce à l'algèbre linéaire que nous faisons voler Boeing, que Tesla roule et que Spotify joue de la musique. L'algèbre linéaire est également à la base de l'apprentissage automatique, qui a de nombreuses applications, telles que Siri qui reconnaît votre visage, Alexa qui reconnaît votre voix et H&M qui maximise ses ventes en ligne. Mais comment l'algèbre linéaire peut-elle être cruciale pour toutes ces applications très différentes ?

      Les étudiants disent souvent que le cours semble abstrait, ce qui est en partie vrai. L'avantage d'un outil abstrait est que seule l'imagination limite le domaine d'utilisation.

      1. Cryptage

      Une manière intelligente de protéger les informations privées que nous nous envoyons mutuellement est de passer par des processus de cryptage et de décryptage impliquant des matrices inverses. Afin de garantir qu'un espion ne puisse pas lire un message envoyé électroniquement, nous le cryptons, déformant et réarrangeant les symboles pour les rendre incompréhensibles. Pour que la bonne personne puisse le lire, le message doit ensuite être décrypté à la réception.

      En utilisant une technique appelée le chiffre de Hill, l'expéditeur et le destinataire conviennent d'une matrice à utiliser pour crypter les messages. Puisque le destinataire sait cela, il peut utiliser la matrice inverse pour décrypter le message

      2. Tomodensitométrie (scanner CT)

      Un scanner CT est un système d'imagerie médicale qui envoie des rayons X à travers un corps sous différents angles. À partir de ces images aux rayons X, nous pouvons construire une image de ce à quoi ressemble l'intérieur du corps. Mais vous êtes-vous déjà demandé comment l'image est réellement construite ?

      La réponse est bien sûr avec les mathématiques, en particulier avec la transformée de Radon. La transformée de Radon est un type de transformation intégrale, qui est une transformation linéaire générale.

      3. Filtres photo numériques

      Un pixel se réfère à une petite région sur votre écran représentée par trois nombres entre 0 et 255 indiquant l'intensité des composants rouge, vert et bleu, respectivement. Nous utilisons des pixels pour créer des images numériques, et pour changer l'apparence d'une image, nous ajustons les valeurs de ses pixels.

      En fixant les couleurs à des valeurs similaires, on crée une image en niveaux de gris, et en les augmentant ou diminuant, on obtient une apparence plus claire ou plus sombre, respectivement. En modifiant l'intensité des trois composants des pixels constitutifs, il existe d'innombrables autres façons de manipuler les images pour améliorer certaines caractéristiques. L'arithmétique des matrices nous permet de le faire efficacement. Par conséquent, c'est à la mathématique que nous devons les filtres qui rendent vos publications Instagram incroyables.

      4. Tarification dans l'assurance, par exemple

      Les voitures rouges sont surreprésentées dans les statistiques d'accidents de la route, mais pourquoi les coûts d'assurance pour les voitures rouges ne sont-ils pas plus élevés que pour les voitures d'autres couleurs du même modèle ? Lorsque l'on creuse un peu plus, on découvre que ce n'est pas la couleur rouge elle-même qui est un facteur de risque sur les routes, mais que la couleur est liée à d'autres caractéristiques qui le sont. Le rouge est une couleur courante pour les voitures de sport, qui ont tendance à avoir des moteurs puissants et des conducteurs masculins. Elles ont aussi tendance à avoir un prix élevé.

      Le coût de l'assurance est linéairement dépendant de la valeur de la voiture et du risque de collision, c'est-à-dire que si ces deux éléments augmentent, la prime d'assurance augmente de manière proportionnelle. La probabilité qu'une voiture soit rouge et son coût d'assurance dépendent des mêmes paramètres, mais n'affectent pas directement l'un l'autre.

      5. Moteurs de recherche

      Les ordinateurs effectuent souvent des calculs sur des matrices, et il s'avère que certains types spéciaux de matrices où de nombreux éléments sont nuls permettent d'effectuer des calculs plus rapides et plus précis. Larry Page et Sergey Brin, les fondateurs de Google, connaissaient tout sur le fonctionnement de l'arithmétique informatique et comment l'optimiser. Cela a permis la révolution sur le marché des moteurs de recherche que Google a apportée, augmentant à la fois la fréquence des résultats pertinents sur le web par rapport à leurs concurrents.

      6. Reconnaissance faciale

      Les systèmes de détection faciale sont utilisés pour mettre en évidence les différences entre les visages des personnes afin que seule la bonne personne ait accès. Ces programmes reposent fortement sur le concept de vecteurs propres.

      Il s'avère que les visages humains dépendent linéairement de combinaisons de certaines caractéristiques distinctives, telles que la couleur des cheveux, la taille du nez, la distance entre les yeux, etc. Pour construire correctement ces caractéristiques, le système a besoin de nombreuses images de personnes à partir desquelles apprendre, mais une fois qu'il a décrit les aspects importants des visages, un nombre beaucoup plus petit d'images spéciales peut être utilisé pour reconstruire et comparer n'importe quelle personne.

      Ces images spéciales sont appelées des eigenfaces. Le nom vient du fait qu'elles sont essentiellement des vecteurs propres d'une matrice contenant des informations sur les caractéristiques faciales trouvées parmi l'ensemble des images données. Les valeurs propres correspondantes donnent une mesure de l'importance de chaque eigenface pour distinguer différentes personnes.

      7. Voitures autonomes

      Tout comme les conducteurs humains, les voitures autonomes doivent constamment scanner les routes à la recherche d'obstacles et de panneaux de signalisation pour naviguer en toute sécurité dans nos rues. Pour être capable de le faire, la voiture est équipée de caméras qui prennent des instantanés de l'environnement à des intervalles très courts. Mais comment la voiture sait-elle si la Volvo devant elle roule nonchalamment sur la route ou s'est arrêtée brusquement à la suite d'un accident ?

      La réponse réside dans les transformations linéaires. Une image d'une voiture au loin a une représentation de pixels complètement différente par rapport à un gros plan de la même voiture. Cependant, il existe une relation linéaire entre les images, car la voiture elle-même ne change pas son apparence. À travers des transformations linéaires qui zooment et tournent la séquence d'images, l'algorithme de conduite autonome peut déterminer le comportement de la voiture devant et agir en conséquence.

      L'algèbre linéaire est-elle difficile ?

      L'algèbre linéaire est généralement considérée comme un seuil difficile pour les étudiants à franchir. En plus du fait qu'elle présente un nouveau monde en mathématiques, il y a aussi un nouveau langage avec beaucoup d'utilisation inconsistante. De plus, l'anglais est généralement un seuil supplémentaire pour tous les étudiants dont la langue maternelle n'est pas l'anglais. Les parties les plus difficiles de l'algèbre linéaire sont généralement les transformations linéaires, le changement de base et les transformations linéaires et les bases.

      Pourquoi cela s'appelle-t-il algèbre linéaire ?

      L'algèbre linéaire est appelée "linéaire" parce qu'elle traite d'objets linéaires tels que des vecteurs et des matrices. Linéaire signifie que lorsque vous doublez la taille de votre vecteur, vous doublez également le résultat de vos transformations. Cela contraste avec les objets non linéaires, où le doublement de la taille peut ne pas avoir le même effet que le doublement de chacun des composants individuels.

      Bon plan pour l'algèbre linéaire et liste de tâches courtes

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