Sous-espace
Un ensemble de vecteurs qui est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire signifie que :
si et sont dans , alors sont dans (fermé sous l'addition)
si est dans , alors il y a dans pour tous les (fermé sous la multiplication scalaire)
il s'ensuit des deux points ci-dessus que doit être dans
Cela nous amène à la définition d'un sous-espace :
Un ensemble de vecteurs dans est appelé un sous-espace de s'il est fermé sous l'addition et fermé sous la multiplication scalaire.
Note que parce qu'un sous-espace est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire, il est également fermé sous toutes les combinaisons linéaires. En outre, le vecteur doit appartenir à l'espace pour être un sous-espace de . Note également que quel que soit la dimension de , il existe toujours deux sous-espaces appelés les sous-espaces triviaux, à savoir et lui-même. Que le sous-espace rencontre la définition tombe souvent naturellement, mais que est toujours un sous-espace, nous le montrons maintenant :
(fermé sous l'addition)
pour tous les (fermé sous la multiplication scalaire)
Comme exemple, nous prenons un plan dans .
Soit l'équation ou la forme paramétrique :
Alors est un sous-espace de parce que :
Le vecteur nul est situé dans
si et sont dans , alors il y a aussi dans (fermé sous l'addition)
si est dans , alors il y a aussi dans pour tous les (fermé sous la multiplication scalaire)
Nous montrons maintenant les trois affirmations ci-dessus.
existe dans car
Soient et dans . Cela signifie qu'il existe des scalaires , , et qui satisfont la forme paramétrique. Alors nous avons :
qui suit la forme paramétrique pour , et donc est également dans .
Soit dans . Alors il existe des scalaires et qui satisfont la forme paramétrique. Nous avons alors :
qui suit la forme paramétrique pour , et donc existe dans .
Tous les sous-espaces de se classent dans l'une des trois catégories suivantes :
Sous-espace du vecteur nul
Lignes passant par l'origine
Tout
Tous les sous-espaces de se classent dans l'une des quatre catégories suivantes :
Sous-espace du vecteur nul
Lignes passant par l'origine
Plans passant par l'origine
Tout
Note donc que toutes les lignes et les plans qui ne passent pas par l'origine ne sont pas des sous-espaces, mais ils sont des sous-espaces translatés et sont généralement appelés variétés linéaires. Soit un tel sous-espace translaté, tandis que est un sous-espace dans . Alors il existe un vecteur tel que peut être exprimé comme :
Rappele-toi les formes paramétriques générales pour une ligne et un plan, où le point est utilisé comme un point fixe, qui est noté ci-dessus comme .
Sous-espace vectoriel engendré
Une sous-espace vectoriel engendré est un ensemble de vecteurs qui sont fermés sous toutes les combinaisons linéaires possibles du sous-espace et est souvent notée :
Cela signifie que pour tous les vecteurs dans cette gamme, il existe un ensemble de scalaires tels que :
C'est-à-dire, il y a une combinaison linéaire des vecteurs pour exprimer . De plus, tous les vecteurs dans le sous-espace vectoriel engendré sont dépendants linéairement de .
Comme exemple, prenons un plan dans . Soit la forme paramétrique :
Alors est un sous-espace de , et nous pouvons écrire :
Espace des solutions
Un espace des solutions est ce que nous appelons notre collection de points qui résolvent le système linéaire d'équations
pour notre matrice -matrice . Dans le cas spécial d'un système d'équations linéaires homogènes, signifiant que le côté droit est , nous avons que notre espace de solutions satisfait la définition d'un sous-espace de .
Disons que nous avons
dont les résultats de solution peuvent être exprimés comme :
qui est également un sous-espace de . En outre, cet ensemble de solutions est la solution triviale si, et seulement si, les vecteurs colonnes de sont linéairement indépendants.
Pour les systèmes non homogènes , c'est-à-dire que le côté droit est non nul, les espaces de solutions ne sont pas des sous-espaces de .
Ce sont des sous-espaces translatés, appelés variétés linéaires, et peuvent toujours être référencés à leur système homogène associé . Ces deux sont associés comme suit :
Note que les espaces de solutions ci-dessus ne diffèrent que par un seul élément, à savoir .
Interprétation géométrique
L'ensemble des solutions pour chaque système d'équations linéaires suit l'un, et un seul, des trois cas :
un (unique) point
un nombre infini de points ou
aucun point
où le terme point est le plus souvent exprimé comme une solution, mais a été choisi précisément pour faire un point dans cette section. Le premier et le dernier cas ne sont pas très intéressants d'un point de vue géométrique, car il s'agit d'un ou de zéro point. Le cas du milieu, cependant, peut sembler chaotique, mais les points ne sont pas dispersés au hasard dans l'espace. Au contraire, ils sont structurés de manière magnifique dans des formes aux noms de ligne, plan et hyperplan selon la dimension de la forme.
Un seul point
Si l'ensemble des solutions de l'équation
consiste en un seul point, cela signifie que l'inverse existe, et peut donc être exprimé comme :
La dimension de l'espace des solutions est donc 0.
Un nombre infini de points
Dans ce cas, l'inverse de \( A \) n'existe pas. Bien que cela puisse paraître chaotique, les points ne sont jamais dispersés au hasard dans l'espace, mais suivent toujours une forme magnifique. Ce cas est le plus intéressant car il permet des interprétations géométriques qui peuvent être divisées en trois sous-cas :
une ligne
un plan
un hyperplan
Ligne
Puisque l'ensemble des solutions \( S \) est une ligne, les points sont placés le long d'une seule direction, par exemple \( \vec{v} \), et sa dimension est 1. Nous pouvons alors dire que la forme paramétrique de la ligne, et donc l'ensemble des solutions, est :
où \( x_0 \) est la contribution à l'espace translaté, et \( t\vec{v} \) est l'ensemble des solutions du système homogène associé \( A\vec{x}=\vec{0} \). Si \( \vec{x_0}=0 \), la ligne intersecte l'origine et l'ensemble des solutions peut être exprimé comme
Plan
Lorsque l'ensemble des solutions est un plan, il s'étend dans deux directions et sa dimension est 2. La forme paramétrique est écrite comme suit :
Si \( \vec{x_0}=0 \), le plan intersecte l'origine, et l'ensemble des solutions peut être exprimé, comme pour la ligne, comme :
Hyperplan
Un hyperplan est l'expression générale d'une équation dans \( \mathbb{R}^n \) de la forme :
et la dimension est \( n-1 \). Cela signifie que la dimension de l'hyperplan dépend de l'espace \( \mathbb{R}^n \), et a des noms spéciaux pour \( n=2 \) et \( n=3 \), qui sont respectivement ligne et plan. L'hyperplan n'a donc pas de noms spéciaux pour \( n>3 \). Si \( \vec{x}_0=0 \), l'hyperplan traverse l'origine, et son ensemble des solutions peut être exprimé comme :
où \( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots \vec{v_n} \) sont les vecteurs de direction de l'hyperplan.
Aucun point
Le dernier cas est celui où aucun point ne résout l'équation \( A\vec{x} = \vec{b} \). Cela signifie que l'ensemble des solutions \( S \) est vide, ou comme nous le disons en mathématiques, l'ensemble vide, que nous notons :
Résumé pour \( \mathbb{R}^3 \)
Pour chaque système d'équations linéaires homogène et cohérent dans \( \mathbb{R}^3 \), ce qui suit s'applique à l'espace des solutions \( S \) :
\( \mathcal{S} = \emptyset \) équivaut à \( \operatorname{dim}(\mathcal{S}) \) n'est pas défini \( \leftrightarrow \mathcal{S} \) n'est rien.
\( \mathcal{S} = \{\vec{0}\} \) équivaut à \( \operatorname{dim}(\mathcal{S}) = 0 \) équivaut à \( \mathcal{S} \) est un point, l'origine.
\( \mathcal{S} = \{t\vec{v}\}, t\in\mathbb{R} \) équivaut à \( \operatorname{dim}(\mathcal{S}) = 1 \) équivaut à \( \mathcal{S} \) est une ligne passant par l'origine.
\( \mathcal{S} = \{t_1\vec{v}_1+t_2\vec{v}_2\}, t_1,t_2 \in \mathbb{R} \) équivaut à \( \operatorname{dim}(\mathcal{S}) = 2 \) équivaut à \( \mathcal{S} \) est un plan passant par l'origine.
\( \mathcal{S} = \{t_1\vec{v}_1 + t_2\vec{v}_2 + t_3\vec{v}_3\}, t_1, t_2, t_3 \in \mathbb{R} \) équivaut à \( \operatorname{dim}(\mathcal{S})=3 \) équivaut à \( \mathcal{S} \) est tout \( \mathbb{R}^3 \).
Théorèmes pour l'espace des solutions
Si \(A\vec{x}=\vec{0}\) est un système homogène d'équations linéaires avec \(n\) inconnues, alors son ensemble de solutions est un autre sous-espace de \(\mathbb{R}^n\).
La preuve se forme en examinant les trois exigences pour les sous-espaces; inclut le vecteur zéro, est fermé sous l'addition et est fermé sous la multiplication scalaire.
\(\vec{x}=\vec{0}\) satisfait évidemment l'équation et fait partie de l'ensemble des solutions.
Soient \(\vec{x_1}\) et \(\vec{x_2}\) des solutions du système. Alors il s'applique que :
donc l'ensemble des solutions est fermé sous l'addition.
Soit \(k\vec{x}\) un multiple scalaire de \(\vec{x}\). Alors il s'applique que :
pour tout \(k\). Ainsi, l'ensemble des solutions est fermé sous la multiplication scalaire.
Si \(A\vec{x}=\vec{b}\) est un système linéaire cohérent et non homogène, alors soit \(S_0\) l'ensemble des solutions du système homogène associé \(A\vec{x}=\vec{0}\). Alors l'espace des solutions \(S\) est le sous-espace translaté de \(A\vec{x}=\vec{b}\)
où \(\vec{x_S}\) est une solution arbitraire de \(A\vec{x}=\vec{b}\).
D'abord, nous prouvons que si \(\vec{y}\) est un vecteur dans \(S\), alors c'est aussi une solution de \(A\vec{x}=\vec{b}\). Ensuite, nous prouvons le contraire, que chaque solution \(\vec{y}\) à \(A\vec{x}=\vec{b}\) appartient à l'ensemble \(S\).
Soit \(\vec{y}\) un vecteur dans \(S\) et \(\vec{s}\) un vecteur dans \(S_0\), ce qui signifie que nous pouvons exprimer :
où \(\vec{s}\) appartient à \(S_0\). Nous avons alors :
ce qui montre que \(\vec{y}\) est une autre solution de \(A\vec{x}=\vec{b}\).
Soit \(\vec{y}\) une solution arbitraire de \(A\vec{x}=\vec{b}\). Alors nous avons :
ce qui indique que \(\vec{y}\) peut être exprimé comme \(\vec{x_S}+\vec{s}\) appartenant à \(S\).
D'autres théorèmes utiles sur le sujet sont :
Une solution générale à un système linéaire cohérent d'équations \(A\vec{x}=\vec{b}\) peut être construite en ajoutant une solution particulière à \(A\vec{x}=\vec{b}\) à la solution générale de ses systèmes homogènes associés, \(A\vec{x}=\vec{0}\).
Si \(A\) est une matrice \(m \times n\), alors les déclarations suivantes sont applicables :
\(A\vec{x}= \vec{0}\) a seulement la solution triviale
\(A\vec{x}=\vec{b}\) a soit une solution soit aucune solution pour chaque \(\vec{b}\) dans \(\mathbb{R}^m\)
Si \(A\) est une matrice \(m \times n\), alors l'espace des solutions (ensemble des solutions) du système homogène \(A\vec{x}=\vec{0}\) est celui qui consiste en tous les vecteurs \(\vec{x}\) dans \(\mathbb{R}^n\) qui sont orthogonaux à chaque vecteur ligne de la matrice \(A\).
La raison derrière ce théorème est que le système \(A\vec{x}=\vec{0}\) peut être développé en :
où chaque équation de ligne peut être considérée comme un hyperplan dans \(\mathbb{R}^n\), et l'espace des solutions du système peut être considéré comme l'intersection de tous ces \(m\) hyperplans. Une simplification du système ci-dessus est de considérer les constantes de chaque équation de ligne \(a_{ij}\) comme un vecteur \(\vec{a_i}\) multiplié par la variable \(\vec{x}\). Nous obtenons alors :
ce qui signifie que le produit scalaire entre \(\vec{a_i}\) et \(\vec{x}\) est 0, et donc ils sont orthogonales.
