Vecteurs

Un seul point est souvent noté , et et a des coordonnées. Le nombre de coordonnées correspond toujours au nombre de dimensions dans l'espace, tel que dans , ou dans . Une collection continue d'un nombre infini de points peut former une forme géométrique, telle qu'une ligne ou un plan.

Un point dans l'espace...

Un vecteur en physique est dessiné comme une flèche et représente le point de départ, la direction et l'amplitude d'une force. Dans le monde des mathématiques, la perspective pratique est abstraite, où la plus grande différence est que les vecteurs sont généralement considérés libres, ce qui signifie qu'ils ne sont pas liés à une position fixe. Chaque vecteur est créé à partir de deux points (et a donc une direction et une longueur). Si l'un des points d'un vecteur est l'origine, c'est-à-dire le point , le vecteur est appelé vecteur local. Si les deux points sont à l'origine, le vecteur est appelé le vecteur nul et est noté .

Un vecteur dans l'espace...

Cependant, un vecteur peut être noté dans un document imprimé comme . Par conséquent, il est pratique d'utiliser la notation dans un texte manuscrit avec une flèche. D'autre part, il est plus une règle qu'une exception de noter le vecteur dans un texte manuscrit .

Les lois ou règles arithmétiques suivantes s'appliquent aux vecteurs et semblent souvent naturelles même pour le novice :

Un vecteur a une longueur et une direction et est dérivé d'un point de départ connu et d'un point final . Il peut donc être créé à l'aide de deux points dans l'espace par la formule :

Prenons l'exemple avec les points :

Laissons être le point de départ et être le point final. La formule s'applique comme suit :

et comme contre-exemple, nous laissons être le point final et être le point de départ :

Note que l'inversion des points de départ et de fin résulte en un vecteur conservant sa longueur mais ayant la direction opposée. Nous avons :

Mettre à l'échelle un vecteur signifie le multiplier par un scalaire . Cela change la longueur de . Si , alors est étendu. Si , alors est abrégé, et si , alors obtient la direction opposée.

La somme de deux vecteurs et constitue un nouveau vecteur que nous pouvons appeler , et la notation est la suivante :

Géométriquement, le vecteur peut être interprété comme la diagonale du parallélogramme étiré par et .

Algébriquement, les coordonnées respectives sont additionnées entre elles, de manière similaire à la façon dont nous créons un vecteur à partir de deux points. Prenons par exemple :

Alors il s'applique que :

Soustraire deux vecteurs et est plus facilement comparé à la somme d'un vecteur positif et d'un vecteur négatif de la manière suivante :

Géométriquement, le vecteur peut être interprété de la même manière que dans l'addition de vecteurs :

Algébriquement, cela fonctionne de manière analogue à l'addition. Prenons par exemple :

Alors il s'applique que :

La définition de la longueur, ou norme, d'un vecteur peut être compliquée en mathématiques, mais le cours de base en algèbre linéaire traite toujours, en principe, uniquement de la plus pratique basée sur le théorème de Pythagore - la norme euclidienne. Laissons le vecteur dans avoir les coordonnées :

dont la longueur euclidienne est alors définie comme :

que l'on peut reconnaître du théorème de Pythagore.

La formule suit de manière similaire dans des dimensions supérieures. Dans l'espace , la longueur de devient :

La longueur du vecteur peut également être considérée comme la distance entre ses deux points car un vecteur n'est en réalité rien de plus qu'une différence spatiale relative, ou comme nous pouvons le dire aux gens ordinaires : une flèche entre deux points !

Plus à propos de la distance dans une section ultérieure, mais nous nous offrons une dérivation de comment la longueur du vecteur se rapporte à la distance entre ses points de départ et de fin et , respectivement. Laissons :

où :

alors nous avons ce dont nous avons besoin pour dériver la formule de distance entre et .

Un vecteur de longueur (norme) 1 est appelé un vecteur unitaire. Chaque vecteur dans peut être transformé en vecteur unitaire en le multipliant par le scalaire , c'est-à-dire en le divisant par sa propre longueur. Cela s'appelle normaliser le vecteur . Soit le vecteur normalisé de , alors :

On rencontre souvent l'expression ci-dessus sous la forme :

qui est considérée comme une expression comprimée d'un vecteur normalisé .

Généralement, un vecteur unitaire avec une coordonnée de 1 et les autres de 0 est appelé un vecteur unitaire par défaut et est noté . La composition des fragments vectoriels suivants dans est appelée les vecteurs unitaires standards de l'espace :

L'observateur astucieux peut voir que chaque vecteur peut être écrit comme une combinaison des vecteurs unitaires standards.

La multiplication de deux vecteurs, et , n'est pas définie, mais il existe deux opérations à comprendre ; le produit scalaire (ou produit point) et le produit vectoriel. Le produit scalaire aboutit à un scalaire (un nombre) et est généralement noté soit soit , tandis que le produit vectoriel aboutit à un tout nouveau vecteur . Soient et deux vecteurs dans :

alors le produit scalaire est algébriquement défini comme :

et le produit scalaire a la définition géométrique suivante :

où fait référence à la longueur du vecteur et fait référence à l'angle entre et .

Le produit scalaire est également défini pour avec la même relation géométrique qu'au-dessus pour . Le calcul fonctionne de manière analogue :

L'orthogonalité signifie que deux vecteurs, lignes ou plans sont perpendiculaires. Ainsi, l'angle entre eux est .

Note que le produit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux est toujours 0 car l'angle est alors :

d'où chaque angle entre deux vecteurs peut être trouvé par :

Nous sommes prêts pour la définition suivante.

C'est un défi courant pour les débutants de laisser tomber le concept de degrés comme unité pour les angles et d'embrasser complètement les radians à la place. Il est important que l'étudiant réussisse cette transition car il est attendu que l'étudiant connaisse les valeurs angulaires du sinus, du cosinus et de la tangente selon le tableau des angles ci-dessus. Cette note de cours vise à soutenir cette transition dans la vie, et nous le faisons en trois étapes :

Commençons !

Selon l'image, la coordonnée correspond à la valeur de et les coordonnées correspondent à la valeur de . Souviens-toi que :

et que :

Il est également important de se souvenir des lois trigonométriques :

Toutes les valeurs angulaires pour le sinus, le cosinus et la tangente que l'étudiant est censé mémoriser sont une forme de multiple des cinq angles standards , , , et .

Commence chaque examen en écrivant le tableau des angles tel qu'il apparaît ci-dessus. Cela peut être intimidant, mais si tu apprends la méthode derrière, tu n'as pas besoin de mémoriser le contenu. La première étape consiste à dessiner la structure du tableau avec les angles standards remplis à partir de l'étape 2 :

D'après l'étape 1, on se souvient des valeurs de et pour les angles et . Mais au lieu de remplir 0 et 1 dans le tableau, on écrit et , respectivement.

Le plus dur est passé car maintenant on remplit simplement les valeurs angulaires pour le sinus , et de gauche à droite.

C'est un beau modèle ! Et le cosinus suit le même modèle, juste à l'inverse. On a rempli les deux premières rangées !

Seule la tangente reste, qui est le sinus divisé par le cosinus. En lisant les valeurs du tableau, on remplit simplement la dernière ligne.

Pour trouver les valeurs angulaires de ou , on utilise alors le tableau des angles avec le cercle unité et les lois trigonométriques.

La projection orthogonale, ou perpendiculaire, entre deux vecteurs et est une opération (et une transformation linéaire, mais nous y reviendrons plus tard) qui résulte en un nouveau vecteur. Si est projeté sur , nous notons le nouveau vecteur , qui a la même direction que .

Selon l'image, nous voyons comment est projeté vers à angle droit et est parallèle à . Avec le théorème de projection, nous décidons :

Le dénominateur dans le théorème de projection est nécessaire pour normaliser , c'est-à-dire le mettre à l'échelle pour qu'il ait une longueur de 1, sinon le vecteur n'obtient pas la bonne longueur et ne devient donc pas une projection orthogonale. Si est déjà normalisé, la formule se réduit à :

Et pour dériver complètement de la formule générale, insérons le vecteur normalisé :

et obtenons :

ce qui termine la dérivation.