Base et dimension

Prenons un vrai pas en arrière et passons en revue les coordonnées d'un vecteur dans comme si c'était la première fois, comme lorsque nous avons appris à lire un diagramme dans un système de coordonnées à l'école primaire. Nous avons précédemment mentionné les vecteurs unitaires standard et :

Il est clair que nous pouvons décrire comme une combinaison linéaire de et comme suit :

où les coordonnées, et , constituent des scalaires dans la combinaison linéaire. Tout vecteur peut être exprimé dans comme une combinaison linéaire de et , et donc nous disons que et forment une base pour . C'est parce qu'ils sont linéairement indépendants et ensemble engendrent tout l'espace. Cela peut être écrit algébriquement comme :

Cela peut être étendu de manière analogue à tous les vecteurs et sous-espaces tels que définis ci-dessous :

Il est clair que , forment une base pour , et sont appelés la base standard. En plus, ces vecteurs sont orthogonaux entre eux avec une longueur de 1, et sont donc dit constituer une base orthonormée, ou base ON. S'ils étaient seulement orthogonaux, ils auraient rempli la condition d'une base orthogonale.
Les propriétés de chaque sous-espace non nul dans sont :

La raison de la révision rigoureuse de la base standard et de la définition de la base est d'introduire le débutant à travailler avec d'autres bases. Souviens-toi de ce qui s'appliquait aux coordonnées d'un vecteur arbitraire ! Les coordonnées sont les scalaires dans la combinaison linéaire de exprimé dans les vecteurs de base. Soit :

la base d'un sous-espace de . Alors nous avons que tout vecteur arbitraire exprimé dans a les coordonnées :

tel que :

Ce qui précède conduit à un système d'équations linéaires où le nombre d'équations est (car les vecteurs de base appartiennent à ), et le nombre d'inconnues est (= nombre de coordonnées). L'ensemble des solutions sera une solution unique étant donné que (bien que ).
Note que nous avons toujours le même nombre de coordonnées que le nombre de vecteurs de base engendrant le sous-espace.

Soit :

exprimé dans la base standard . Aussi soit :

une base pour . Nous cherchons maintenant exprimé dans la base . Il est fortement recommandé que le débutant commence toujours ses solutions pour des problèmes similaires de la manière suivante :

Nous cherchons :

tel que :

Commencer avec ces deux lignes est un concept éprouvé parmi des milliers d'étudiants, ce qui rend la section sur les coordonnées par rapport à d'autres bases compréhensible avec de très bons résultats. À partir de la deuxième ligne, nous pouvons dériver un système d'équations linéaires avec une solution unique :

De la deuxième ligne, nous pouvons convertir en forme matricielle et en matrice augmentée et résoudre le système :

De la matrice augmentée réduite par rang, nous pouvons maintenant lire la solution et la réponse pour l'expression de dans la base , qui est :

De l'image ci-dessous, nous pouvons voir comment les deux vecteurs et engendrent le parallélogramme dont la diagonale est , complètement selon notre début de solution ci-dessus et selon la définition générale des coordonnées.

Soit :

un vecteur dans le sous-espace avec une forme paramétrique :

Nous voyons que engendre un plan car il a deux vecteurs et deux paramètres et . Par conséquent :

constitue une base pour le plan / sous-espace . Nous cherchons maintenant les coordonnées de exprimées dans la base . Encore une fois, nous commençons de la manière suivante pour résoudre le problème :

Soit:

tel que:

Nous construissons la matrice augmentée y résolvons le système:

et nous obtenons:

Vérifions le résultat:

Note that we have the same number of coordinates as basis vectors. This means that the vector is expressed by two coordinates, even though exists in . More often than not, unfortunately, this tends to confuse the beginner. Therefore, we draw the following picture to mitigate discomfort.

Le fait que nous ayons le même nombre de coordonnées que de vecteurs de base signifie que le vecteur est exprimé par deux coordonnées, même si existe dans . Malheureusement, cela tend à confondre le débutant. Par conséquent, nous dessinons l'image suivante pour atténuer l'inconfort.

Sur le plan, nous avons les vecteurs , et . Nous avons également inclus un vecteur qui n'est pas sur le plan. Les quatre vecteurs se trouvent dans et ont donc trois coordonnées. Cependant, tous les vecteurs sur le plan sont exprimés avec deux coordonnées lorsqu'ils sont exprimés dans une base pour le plan. Comme le plan est engendré par deux vecteurs, la dimension du plan est de deux. Par conséquent, le nombre de vecteurs de base est de deux, et par conséquent le nombre de coordonnées est de deux.

Selon l'image, nous avons aussi l'individu Mr. 2D qui vit sur le plan . Il peut percevoir tous les vecteurs sur le plan, y compris , et . Il les voit de son point de vue, quelque peu limité. Dans son monde, il n'y a que les concepts de largeur et de hauteur, c'est-à-dire deux dimensions. Il voit donc les coordonnées de comme deux et non trois. Malheureusement, Mr. 2D ne peut pas percevoir le vecteur , qui nécessite la perspective de la profondeur. Pour renforcer l'exemple avec les sous-espaces et les coordonnées locales, nous introduisons la ligne qui croise le plan au point . Mr. 2D ne peut pas percevoir la ligne dans son intégralité, mais a la capacité de percevoir le point d'intersection , qui est également exprimé par deux coordonnées dans le sous-espace dans lequel vit Mr. 2D.

Cet exemple est un classique en physique moderne pour expliquer le concept de dimensions supérieures. Comment abordons-nous les concepts d'espace, de temps et d'espace dimensionnel supplémentaire ? Eh bien, dans ces contextes, c'est nous qui sommes Mr. 2D, et les possibilités sont infinies.

La dimension et les bases sont étroitement liées et peuvent être liées à notre connaissance de la forme paramétrique de la ligne et du plan. Rappelle-toi que :

Si une ligne et un plan se croisent, ils forment des sous-espaces dans , et si nous remplaçons le mot vecteurs directeurs par vecteurs de base, nous pouvons relier la comparaison de ces objets géométriques à ce que nous venons d'apprendre sur les bases et les sous-espaces. Nous voyons clairement la relation avec le nombre de vecteurs de base pour un sous-espace et sa dimension, ce qui nous amène aux propriétés suivantes pour chaque sous-espace non nul de :