Gram-Schmidt

Gram-Schmidt est un algorithme pour créer une nouvelle base ON basée sur une base existante. Disons que nous avons une base :

qui engendre un sous-espace . Le défi est alors de définir une nouvelle base :

qui engendre le même sous-espace , mais qui est également une base orthonormale.

Mathématiquement, les deux bases ci-dessus et les vecteurs de base s'appliquent pour :

Dans cette section, nous introduisons l'algorithme et montrons des exemples pour 2D et 3D. Certains d'entre nous ont tendance à reconnaître des modèles, tandis que d'autres ont besoin d'une revue géométrique pour chaque étape de l'algorithme. La recommandation est de lire d'abord l'algorithme ci-dessous superficiellement, puis de comprendre la géométrie de nos deux exemples.

Soit :

qui engendre le sous-espace . Nous créons une base ON de comme les vecteurs :

et les définissons comme :

où est un sous-espace de et croît d'une dimension à chaque étape.

L'algorithme et ses étapes peuvent être résumés comme suit :

Pour la deuxième étape de l'algorithme, nous voyons que est défini comme :

où le sous-espace est unidimensionnel et engendre :

Pour cette étape, nous pouvons facilement utiliser la formule de projection, mais à partir de la troisième étape où nous avons :

le sous-espace a une dimension supérieure à 1. Alors la formule de projection n'est pas suffisante. Cependant, nous pouvons le soutenir avec le fait que les vecteurs forment une base ON. Alors :

puisque et sont normalisés. S'ils ne sont pas normalisés, l'expression n'est pas abrégée aussi joliment, mais l'expression générale devient :

puisque le dénominateur dans la fraction n'est plus égal à 1. Le cas général suit de manière analogue, à condition que les vecteurs soient normalisés :

Dans notre premier exemple, nous avons la base :

où engendre et :

Nous effectuons Gram-Schmidt et commençons par la première étape - définir le premier vecteur de base ON comme la norme de et le sous-espace :

La prochaine et dernière étape pour cet exemple est de définir le deuxième vecteur de base ON selon :

Donc notre nouvelle base ON pour est :

où les vecteurs sont tous les deux de longueur 1 et orthogonaux l'un à l'autre.

Dans notre deuxième exemple pour 2D, nous prenons la base :

qui engendre le plan , qui est un sous-espace de et :

Mais, comment un exemple dans l'espace peut-il qualifier pour un exemple pour 2D ? C'est un exemple de 2D car nous créons une nouvelle base ON pour le sous-espace , dont la dimension est 2 lorsqu'il a deux vecteurs de base.

Nous effectuons Gram-Schmidt :

Comme dans le premier exemple, nous n'avons qu'une étape de plus, qui consiste à définir le deuxième vecteur de base ON comme :

Avant de normaliser lors de la dernière sous-étape de l'étape 3 dans l'algorithme, nous pouvons d'abord étendre le vecteur par 3/2 pour faciliter les calculs et obtenir un vecteur de base plus agréable :

Nous concluons que notre nouvelle base est :

Une base est orthonormale si ses vecteurs de base sont orthogonaux les uns aux autres et ont tous une longueur de un, c'est-à-dire une base orthogonale avec la condition supplémentaire que tous les vecteurs de base sont normalisés. Formellement, nous pouvons la définir comme suit :

Soit une base pour le sous-espace . est considéré orthonormale si, et seulement si :

Une base est orthogonale si tous ses vecteurs de base sont perpendiculaires les uns aux autres. Formellement, nous pouvons la définir comme suit :

Une matrice est orthogonale si elle est carrée et si tous ses vecteurs colonnes sont perpendiculaires les uns aux autres avec une longueur de un. Une réaction très naturelle est que la matrice devrait alors être appelée une matrice orthonormale, ce que certaines sources autorisent. Mais le nom conventionnel est juste une matrice orthogonale, même si le nom est déroutant et donc un peu malheureusement choisi. Il existe une rumeur selon laquelle un mathématicien éminent, mais confus, a choisi le mauvais nom une fois et l'erreur n'a jamais été corrigée depuis. Formalisons la définition :