Espaces vectoriels généraux

Ceci est le début de la fin, du moins pour un cours conventionnel d'algèbre linéaire. Nous avons étudié les vecteurs, les matrices et les espaces. Beaucoup de personnes pensent que ces concepts sont assez abstraits, mais tout est relatif.

Les mathématiciens aiment souvent distinguer entre les catégories des mathématiques et des calculs, l'algèbre linéaire appartenant à cette dernière. Cela peut sembler provocateur, surtout après un travail acharné pour apprendre le contenu, mais l'intention est purement académique. Nous avons l'intention que ce document de cours soit utile à l'étudiant pour apprécier les différences et, espérons-le, l'inspirer à en apprendre davantage sur le monde de l'algèbre abstraite.

Les mathématiques sont une entreprise logique, tout comme les études de philosophie et de droit. Elles nécessitent une pensée analytique et abstraite, car le but est de prouver des idées et de voir si les relations trouvées peuvent être généralisées. Parfois, une découverte n'est que la pointe pratique de l'iceberg, où la vérité sous la surface peut être prouvée être beaucoup plus grande.

Nous généralisons le concept d'espace vectoriel en spécifiant les exigences qui permettent à un ensemble général d'objets avec deux opérations d'être considéré comme un espace vectoriel. Nous avons maintenant une association pratique avec l'addition, les scalaires, la multiplication et les vecteurs.

Le processus de généralisation ne signifie pas que nous ajoutons des connaissances au contexte, cela signifie au contraire que nous soustrayons les connaissances acquises. Nous commençons par ce bref résumé des propriétés de base des sous-espaces :

Maintenant, nous franchissons l'étape suivante en définissant ce que nous entendons par addition et multiplication scalaire (rappele-toi - nous généralisons des concepts). Essaye de lire les sections suivantes pour la première fois.

Soit un ensemble non vide d'objets, pour lesquels nous introduisons deux opérations :

Note que nous réutilisons les termes addition et multiplication, mais nous sommes ouverts à la façon dont les opérations sont définies. Nous appelons un espace vectoriel et nous appelons les objets , et vecteurs s'ils satisfont les dix axiomes suivants appelés les axiomes de l'espace vectoriel :

Penser de manière abstraite est le processus de laisser aller les conditions limitatives et d'essayer de penser de manière minimaliste et nouvelle. Si les déclarations ci-dessus n'ont pas invité à un défi, peut-être que la déclaration suivante peut justement le faire :

Regarde la première propriété du théorème ci-dessus :

La première propriété du théorème ci-dessus est si intuitive qu'il est difficile de suggérer autre chose, n'est-ce pas ? Sûrement un scalaire devrait résulter dans le vecteur zéro , lorsqu'il est multiplié avec n'importe quel vecteur ? Eh bien, bien sûr, tu obtiens ce résultat avec la définition conventionnelle de la multiplication scalaire, ce qui signifie que nous multiplions le scalaire par chaque composant du vecteur . Mais que se passe-t-il si nous laissons la définition précise de l'opération, et abordons cela avec un état d'esprit abstrait. Disons que nous ne savons pas comment fonctionne l'opération de multiplication scalaire. Ce que nous savons, ce sont les dix axiomes originaux de l'espace vectoriel. Voici une preuve en six étapes de qui est soutenue uniquement par les dix axiomes de l'espace vectoriel :

À droite de chaque étape, nous avons , faisant référence à laquelle des dix axiomes a été utilisée pour soutenir le résultat. L'étape fait référence à la propriété des nombres réels. Note comment chaque étape de la preuve est abstraite, et comment nous ne divisons pas les vecteurs en composants. Par conséquent, la preuve s'applique à tous les objets qui peuvent être appelés vecteurs pour tous les ensembles appelés espace vectoriel. Nous résumons ici les trois preuves pour les trois énoncés du théorème ci-dessus :

où la dernière ligne de la dernière preuve fait référence au résultat de la première preuve. C'est un concept magnifique, à la fois utilisé en mathématiques comme en philosophie, que nous réutilisons nos résultats de raisonnements précédents pour prouver de nouveaux. Nous avançons maintenant avec trois exemples d'espaces vectoriels, à savoir les espaces de fonctions, les espaces de polynômes et les espaces de matrices.

Un espace vectoriel couramment visité dans les études supérieures en mathématiques est celui des espaces de fonctions, et en particulier ceux à valeurs réelles. Partons de notre vision conventionnelle d'un vecteur tel que :

et passons à considérer chaque composante de pour représenter une valeur de fonction. Disons que nous avons

ce qui nous donne :

Dans l'exemple ci-dessus, nous référons le vecteur comme un 3-uplet, ce qui signifie une séquence finie de trois. En général, nous parlons de n-uplets. Si nous traçons le vecteur , nous aurions trois points :

dans un graphique bidimensionnel avec les axes comme axe horizontal et comme axe vertical.

Mais, en calcul, nous avons l'habitude de tracer des graphiques sur l'ensemble des nombres réels, ce qui signifie que nous pouvons passer au niveau supérieur et considérer :

Nous pouvons étendre notre notion de vecteur à valeurs de fonction pour couvrir chaque nombre réel, nous donnant le vecteur avec un nombre infini de composantes, une pour chaque nombre réel :

Ainsi, nous avons que et que la composante pour ce vecteur est . Assez cool, hein ? Nous désignons ici l'ensemble des fonctions à valeurs réelles qui sont définies pour toutes les valeurs réelles de par , et convenons que deux fonctions appartenant à cet ensemble, et , sont considérées égales si, et seulement si,

où le signe signifie "pour tous". Alors, comment devrions-nous définir les opérateurs d'addition et de multiplication scalaire ? cela est généralement gardé simple et conventionnellement défini comme :

Un tel espace de fonctions , avec les opérations ci-dessus pour l'addition et la multiplication scalaire, est défini comme un espace vectoriel car il satisfait à tous les axiomes de l'espace vectoriel.

En partant des espaces de fonctions, nous pouvons laisser être un entier non négatif et laisser être l'ensemble de toutes les fonctions à valeurs réelles sous la forme :

où sont des nombres réels. Cela signifie que est l'ensemble de tous les polynômes de degré ou moins. Nous avons que , avec les mêmes définitions pour l'addition et la multiplication scalaire que pour , est un espace vectoriel. Mieux encore, c'est un sous-espace de . Pour montrer cela, nous devons montrer que est fermé sous addition et multiplication scalaire. Supposons que et soient dans :

Ainsi, nous avons pour la multiplication scalaire :

Quant à l'opération d'addition, nous avons que :

ce qui montre que et sont tous deux des polynômes de degré ou moins, appartenant donc à l'espace de polynômes .

L'espace de polynômes est intéressant car nous pouvons définir une belle base pour cet espace vectoriel. Nous nous souvenons que la définition d'une base pour un espace vectoriel est que la base doit être linéairement indépendante et englober tout l'espace. Cela signifie que nous devrions avoir une combinaison linéaire unique pour chacun des polynômes à . Plusieurs bases remplissent cette fonction, en voici une triviale :

Tu vois à quoi ressemblerait une combinaison linéaire de cette base ? Pour chaque , nous avons un ensemble unique de coordonnées tel que :

N'est-ce pas magnifique ?

Une autre variante fascinante des espaces vectoriels est celle des espaces de matrices. Bien sûr, il peut sembler contre-intuitif de considérer des matrices comme des vecteurs. Mais rappele-toi - une généralisation n'est pas l'ajout d'informations, c'est la soustraction des limitations de ce qui est déjà connu.

Ainsi, disons que est l'espace de matrices avec toutes les matrices à nombres réels. Cela signifie que les vecteurs appartiennent à cet espace de matrices, que nous reconnaissons, selon notre ancienne définition, comme un vecteur. Nous laissons les opérations d'addition et de multiplication scalaire pour les matrices être les mêmes que celles auxquelles nous sommes habitués. Nous avons alors que cet espace est fermé sous addition et multiplication scalaire, car les dimensions des vecteurs ne changent pas. Prenons un exemple plus concret, et examinons l'espace de matrices suivant de matrices . À quoi ressemblerait une base appropriée ? Encore une fois, il y a un nombre infini de bases à choisir, mais nous gardons cela simple. Nous avons que

forment une base pour , car pour chaque dans cet espace vectoriel, nous avons :

Ainsi, forme une base pour .

Maintenant, c'est le moment d'un défi intellectuel. Nous avons donné plusieurs exemples d'espaces vectoriels, mais ils ont tous eu les définitions conventionnelles d'addition et de multiplication scalaire. Nous allons maintenant introduire deux nouvelles opérations, tout en considérant également les nombres réels comme des vecteurs.

Considérons comme l'ensemble de tous les nombres réels positifs, que nous appelons vecteurs et notons les notations suivantes , et . Pour tout nombre réel et tout vecteur et dans , nous définissons les opérations et comme notre addition et multiplication scalaire respectivement, selon les règles suivantes :

Les deux et sont des nombres positifs, ils appartiennent donc à l'espace et les résultats sont donc considérés comme des vecteurs de cet espace. C'est un bon exercice de généralisation, où nous soustrayons ce que nous savons et considérons autre chose. Mais cela a-t-il du sens ? les dix axiomes de l'espace vectoriel sont-ils remplis pour cet ensemble avec les opérations et ci-dessus ? Si oui, est un espace vectoriel. Nous confirmons les axiomes ci-dessous. Cela fait une liste assez solide, mais il n'y a pas de raccourcis pour confirmer chaque axiome. Prenez votre temps et lisez attentivement.

Une note pour l'axiome 7 - la définition conventionnelle pour l'addition s'applique aux scalaires entre eux, car ils ne sont pas considérés comme des vecteurs de . Cependant, un scalaire multiplié par un vecteur de doit suivre les nouvelles définitions.