Diagonalisation

La diagonalisation est une méthode importante et fondamentale avec des applications dans un certain nombre de domaines scientifiques différents, tels que les mathématiques, l'analyse statistique et la physique. La praticité peut être difficile à absorber directement, mais quelques exemples sont : trouver les interactions entre différentes variables explicatives en statistique et modulariser les énergies en jeu en mécanique quantique.

En bref, les mathématiques concernent le fait que certaines matrices carrées peuvent être divisées en composants sous forme d'un produit de deux matrices, et de sorte que :

où est une matrice orthogonale, est son inverse et est une matrice diagonale. Si nous regardons de plus près ces deux matrices, nous voyons que :

où les colonnes de sont des vecteurs propres de et les éléments de sont les valeurs propres correspondantes de .

Une matrice carrée est diagonalisable si, et seulement si, elle a vecteurs propres linéairement indépendants. Une autre formulation est que son espace propre doit engendrer tout .

Pour comprendre une formulation plus technique des exigences de diagonalisabilité, il est nécessaire de connaître les termes multiplicité algébrique et multiplicité géométrique. Ces deux propriétés sont liées à chaque valeur propre et sont définies comme :

La connexion entre ces deux termes est que la multiplicité algébrique est toujours supérieure ou égale à la multiplicité géométrique.

Ces deux termes dictent la possibilité que soit diagonalisable. Une façon de formuler cette exigence est que la somme des multiplicités géométriques de ses valeurs propres doit être égale à . Une autre façon de formuler cela est que la somme des multiplicités algébriques de ses valeurs propres doit être égale à la somme de sa multiplicité géométrique.

Nous résumons à l'aide du théorème suivant :

Soit :

Pour savoir si la matrice est diagonalisable, nous devons déterminer si la somme de la multiplicité géométrique est 3, car la matrice est . Pour cela, nous devons d'abord déterminer les valeurs propres de la matrice, ce qui se fait via l'équation :

ce qui nous amène au polynôme caractéristique :

Nous pouvons voir que nous avons deux valeurs propres, et , respectivement. Nous voyons en outre que est une racine simple et est une racine double. Ainsi, selon la définition de la multiplicité algébrique, nous avons :

Si nous calculons l'ensemble des solutions pour chaque valeur propre, nous avons :

D'après ce qui précède, nous voyons que les dimensions des valeurs propres sont 1 et 2, respectivement. Nous énonçons donc les multiplicités géométriques des valeurs propres :

Maintenant, nous pouvons conclure que la somme de la multiplicité algébrique des valeurs propres correspond à la somme de la multiplicité géométrique des valeurs propres (les deux sont 3). Par conséquent, la matrice est diagonalisable. Pour diagonaliser , nous devons déterminer les matrices et , et pour cela, nous avons besoin de trois vecteurs propres linéairement indépendants qui peuvent former la base de chaque espace propre. Nous choisissons :

et le résultat de notre diagonalisation sera :

Soit :

Son polynôme caractéristique devient alors :

ce qui nous donne l'opportunité de trouver les valeurs propres suivantes et leurs multiplicités algébriques :

Avec ces valeurs propres, nous produisons les espaces propres respectifs, de manière analogue à l'exemple précédent. Cela nous donne :

Puisque chaque espace propre a une dimension un, nous pouvons résumer les multiplicités géométriques des valeurs propres :

La matrice est par conséquent non diagonalisable car la somme des multiplicités géométriques de ses valeurs propres est 2, ce qui est inférieur à la somme des multiplicités algébriques de ses valeurs propres, qui est 3.