Matrices diagonales
Une matrice carrée \((n \times n)\) dont tous les éléments sont 0 sauf ceux de la diagonale est appelée une matrice diagonale. La forme générale est donc :
où \(d_1, d_2, \ldots d_n\) sont des nombres réels. La matrice diagonale est inversible uniquement si tous les éléments diagonaux sont non nuls, sinon les colonnes seront linéairement dépendantes. Si c'est le cas,
N'hésitez pas à vérifier cela en confirmant que :
Après cette confirmation, il devient relativement facile de multiplier \(D\) par elle-même \(k\) fois, ce qui donne :
ce qui s'applique à tous les entiers, positifs et négatifs, \(k\).
Matrices triangulaires
Une matrice triangulaire est une matrice carrée \(n \times n\) qui a tous les éléments au-dessus ou en dessous de la diagonale égaux à 0, et est alors appelée une matrice triangulaire supérieure ou matrice triangulaire inférieure. Elles suivent les formes :
De plus, si tous les éléments diagonaux sont composés de zéros, les matrices sont appelées strictement triangulaires supérieures et strictement triangulaires inférieures, respectivement. Elles suivent les formats :
Le théorème suivant est utile à connaître sur les matrices triangulaires :
Propriétés des matrices triangulaires.
La transposée d'une matrice triangulaire inférieure est triangulaire supérieure, et la transposée d'une matrice triangulaire supérieure est triangulaire inférieure.
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, tandis que le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure.
Une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, tous les éléments diagonaux sont non nuls.
L'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est triangulaire supérieure, tandis que l'inverse d'une matrice triangulaire inférieure inversible est triangulaire inférieure.
Matrices symétriques et antisymétriques
Une matrice carrée est symétrique si et antisymétrique si . Rappele-toi que la transposition peut être vue comme un reflet des éléments autour de la diagonale. Des exemples de matrices symétriques sont :
et des exemples de matrices antisymétriques seraient :
Note que la diagonale d'une matrice antisymétrique doit être nulle pour que la condition soit respectée, car la diagonale est fixe et n'est pas reflétée dans la transposition.
Si et sont des matrices symétriques de mêmes dimensions, et si est un scalaire, alors :
et sont symétriques
et sont symétriques
est symétrique
Le produit de et n'est pas symétrique, car :
Pour que soit équivalent à , il doit aussi être équivalent à selon les déclarations ci-dessus, c'est-à-dire que nous posons la condition que :
Comme nous savons que la multiplication matricielle ne commutte pas, il en résulte que le produit entre et est symétrique à propos de, et uniquement à propos de, .
Un théorème supplémentaire utile est :
Si est une matrice inversible et symétrique, alors est également symétrique.
Supposons que soit inversible et symétrique. Alors nous avons :
