Applications linéaires générales
Introduction
Après avoir assoupli le concept d'espace vectoriel, nous sommes prêts pour une généralisation similaire des applications (ou transformations) linéaires. Cette partie du cours est généralement plus facile à digérer pour les étudiants, car le saut mental a déjà été fait pour les espaces vectoriels généraux. Par conséquent, nous plongeons directement dans la définition suivante des transformations linéaires :
La définition
Soit
une fonction d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel , alors est appelée une transformation linéaire de vers , si les deux propriétés suivantes sont vérifiées pour tous les vecteurs et pour tous les scalaires :
, (homogénéité)
, (additivité)
Dans le cas spécial où les deux espaces vectoriels sont égaux, c'est-à-dire , est appelée un opérateur linéaire sur l'espace vectoriel .
Par conséquent, nous avons les trois résultats suivants pour une transformation linéaire :
Avant de continuer, examinons les définitions pour le noyau et l'image respectivement :
Soit une transformation linéaire. Nous avons alors deux ensembles de vecteurs, appelés le noyau et l'image de respectivement, et nous les définissons comme :
Le noyau est l'ensemble des vecteurs dans que transforme en , et nous le notons .
L'image est l'ensemble des vecteurs dans qui sont les images d'au moins un vecteur dans , et nous le notons .
Trois théorèmes
Trois théorèmes utiles sont ici énumérés. Ils peuvent être utilisés pour résoudre des problèmes ou prouver d'autres théorèmes.
Si est une transformation linéaire, alors transforme les sous-espaces de en sous-espaces de .
Si est une transformation linéaire, alors est un sous-espace de et est un sous-espace de .
Si est une transformation linéaire, alors les affirmations suivantes sont équivalentes :
est injective
Nous allons maintenant visiter cinq exemples de transformations linéaires, à savoir la transformation nulle, la transformation identité, la transformation d'évaluation, la transformation de différenciation et la transformation d'intégration.
Application nulle
Soient et deux espaces vectoriels et considérons la transformation :
où
ce qui signifie que chaque vecteur dans est transformé en le vecteur zéro .
Cette transformation est en fait linéaire, car nous avons pour chaque scalaire :
Application identité
Soient et deux espaces vectoriels et considérons la transformation :
où
ce qui signifie que chaque vecteur dans est transformé en lui-même. Cette transformation est en fait linéaire, car nous avons pour chaque scalaire :
Application d'évaluation
Soit un sous-espace de l'espace vectoriel et considérons la séquence suivante de nombres réels distincts :
Nous avons le mappage suivant qui associe à son n-uplet de valeurs de fonctions à la séquence mentionnée ci-dessus :
où
Nous appelons cela la transformation d'évaluation sur à
Par exemple, si nous avons que
et si nous laissons
nous obtenons alors :
La transformation d'évaluation est linéaire, car nous avons pour chaque scalaire :
Application différencielle
Soit l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles avec des dérivées premières continues sur . De plus, soit l'espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles continues sur . Considérons maintenant la transformation linéaire suivante,
qui est l'application dérivée.
Cette transformation est en fait linéaire, car nous avons pour chaque scalaire les règles de différenciation suivantes en calcul (non prouvées ici) :
Nous pouvons généraliser cette transformation en introduisant , la k-ième dérivée de , et l'espace vectoriel . Alors nous avons que
où est le même espace vectoriel qu'avant et
Application intégrale
Soit
l'espace vectoriel des fonctions continues sur . De plus, soit
l'espace vectoriel des fonctions avec des premières dérivées continues sur . Considérons maintenant la transformation linéaire suivante,
qui est la transformation qui associe une fonction à l'intégrale :
Cette transformation est en fait linéaire, car nous avons pour chaque scalaire les règles d'intégration suivantes en calcul (non prouvées ici) :
Isomorphisme
Introduction
L'isomorphisme est un concept récurrent en mathématiques, et selon le domaine en mathématiques, il est connu sous des noms spécialisés, tels que l'isométrie pour les espaces métriques, l'homéomorphisme pour les espaces topologiques, le difféomorphisme pour les variétés différentiables et l'automorphisme pour les permutations d'un ensemble. Il n'est pas nécessaire de comprendre tous ces concepts pour un cours d'algèbre linéaire, mais les étudiants inspirés par l'étude des mathématiques supérieures se familiariseront avec un ou plusieurs de ces concepts. Les mathématiques sont véritablement belles, comme un art scientifique.
Définition
Alors, venons-en au fait et définissons l'isomorphisme :
Disons que nous avons une transformation linéaire , et les deux espaces vectoriels et , tels que
qui est bijective (chaque vecteur est mappé à un vecteur unique dans ) et surjective (tous les vecteurs sont associés à au moins un vecteur dans sous ). Alors nous appelons un isomorphisme, et nous disons que l'espace vectoriel est isomorphe à l'espace vectoriel .
La plupart de nos théorèmes se sont concentrés sur l'espace vectoriel réel , ce qui peut sembler limité pour le penseur abstrait véritable. En fait, tous ces théorèmes restent valides grâce à un beau théorème avec une preuve simple. Le théorème énonce que tous les espaces vectoriels de dimension n sont isomorphes à . Avant d'énoncer le théorème et de montrer la preuve, nous tremperons nos orteils dans cette eau en construisant une sorte d'intuition pour le problème énoncé. Comparons l'espace des polynômes à l'espace vectoriel réel . Nous avons alors que chaque polynôme peut être exprimé de manière unique sous la forme :
et peut donc être représenté de manière unique par son n-uplet de coefficients :
Ainsi, nous avons une transformation triviale telle que :
Puisque chaque combinaison possible de coefficients
peut trivialement être liée à chaque vecteur dans , nous avons que est une application bijective et surjective de à . Nous avons également que est linéaire, car nous avons pour chaque polynôme et :
et pour chaque scalaire que :
Nous avons donc montré que est une transformation linéaire de à , et justifié pourquoi elle est bijective et surjective. Ainsi, est un isomorphisme, et après cette première approche, nous sommes maintenant prêts pour le théorème suivant, magnifique, avec une preuve simple :
Tout espace vectoriel réel de dimension est isomorphe à
Soit un espace vectoriel réel de dimension . Nous démontrons que est isomorphe à en trouvant une transformation linéaire
qui est bijective et surjective. Nous commençons par définir une base pour :
Cela signifie que pour chaque vecteur , nous avons une combinaison linéaire unique telle que :
où sont les coordonnées de par rapport à la base . Nous définissons maintenant la transformation :
de sorte que nous ayons :
Bien sûr, cette transformation n'est pas choisie au hasard. Nous avons l'intuition qu'elle répond aux exigences d'un isomorphisme. Pour le démontrer, nous devons prouver que est linéaire, bijective et surjective. Nous montrons ces trois propriétés une à une. Nous commençons par démontrer la linéarité :
Linéarité (1/3)
Soient et des vecteurs dans tels que
et soit un scalaire. Nous montrons les deux propriétés de la linéarité :
Injectivité (2/3)
Nous montrons maintenant que est injective, en démontrant que si et sont des vecteurs distincts, alors leurs images sous le sont également. Puisque :
cela montre que et ont des images distinctes sous .
Surjectivité (3/3)
Enfin, nous montrons que est surjective en supposant que appartient à avec les composants :
qui doit être une image sous du vecteur tel que :
Ceci conclut la preuve.
