Arithmétique des matrices

Une matrice est une liste rectangulaire de nombres, appelés éléments. Chaque matrice a lignes et colonnes et sa taille est appelée (lire "m fois n"). Voici quelques exemples :

De plus, les matrices sont généralement notées par des lettres (A, B, C, etc.). Soit la matrice A une matrice . Chaque élément et son identifiant (position dans la matrice) sont généralement notés de la manière suivante :

La sommation de matrices ne peut se faire que de manière élémentaire et si les matrices ont les mêmes dimensions. Soit et une paire de matrices , et que et que alors il s'applique que ;

Voici deux exemples :

Soit une matrice . Alors il s'applique à tous les vecteurs et dans et chaque scalaire :

La multiplication scalaire avec une matrice fonctionne de manière intuitive. Soit une matrice sommée fois. Alors il s'applique que :

et pour chaque élément dans il s'applique que :

Pour que la multiplication entre deux matrices soit définie, il faut que le nombre de colonnes de la matrice de gauche corresponde au nombre de lignes de la matrice de droite. C'est-à-dire, les dimensions de la matrice résultante sont le nombre de lignes de la matrice de gauche fois le nombre de colonnes de la matrice de droite. Autrement dit :

Mais quelle sera la matrice résultante de ? Nous montrons la multiplication la plus simple entre la matrice et le vecteur :

Prenons un exemple:

Savons de ci-dessus que les dimensions du résultat de devient y du coup, le résultat es:

Prenons un autre exemple de multiplication de matrices, où a une colonne additionelle y du coup es noté comme la matrice :

Nous savons de ci-dessus que les dimensions du résultat de será . Le résultat es:

De manière générale, nous concluons que le produit de deux matrices, et , est calculé en multipliant les lignes de avec les colonnes de . Donc le résultat est :

où les éléments de la matrice deviennent:

En algèbre linéaire, nous parlons des produits intérieur et extérieur entre deux vecteurs de même dimension, et . Ces deux produits sont définis comme suit :

Prenons l'exemple suivant, soit :

Alors il s'applique que les produits intérieur et extérieur sont :

L'étudiant doit être conscient des matrices suivantes que nous traitons dans cette section :

ci-dessus fait référence à la matrice identité, qui peut être vue comme une unidimensionnelle, une matrice où tous les éléments sont 0 sauf les éléments diagonaux, qui sont tous 1.

La matrice identité fonctionne comme 1 étant l'opérateur identité pour tous les nombres :

c'est-à-dire que :

Note ici que la multiplication par est commutative.

La matrice identité entraîne également l'existence d'une matrice inverse, notée . La propriété suivante s'applique :

Si est une unidimensionnelle, alors peut être vue comme , même si cette opération est mathématiquement illégale.

Enfin, nous avons la transposée de , qui est notée . Elle peut être vue comme une rotation de , où ses lignes deviennent des colonnes, comme suit :

Les lois suivantes s'appliquent à l'addition de matrices ;

Note que la loi commutative ne s'applique pas à la multiplication matricielle, c'est-à-dire :

Cependant, les lois suivantes s'appliquent :

Pour une matrice carrée , la trace de est la somme des diagonales et est appelée . Par exemple, prenons :

En général donc, pour chaque matrice carrée , la trace est définie comme suit :

Les lois pour la trace d'une matrice carrée sont :