Projection sur un vecteur
Introduction
Nous sommes déjà familiers avec la projection de vecteurs sur des vecteurs, ce qui est connu comme la formule de projection. Dans cette note de cours, nous couvrirons non seulement le théorème de projection plus général, mais aussi le problème intéressant de projeter un vecteur sur un sous-espace de , utilisé pour Gram-Schmidt. Ceci est une généralisation de la projection sur un seul vecteur, puisque le vecteur unique engendre une ligne dans , qui est en fait un sous-espace de .
Formule de projection pour un vecteur
Donc, nous connaissons la formule de projection pour un vecteur sur une ligne engendrée par le vecteur comme :
où le numérateur est équivalent au produit scalaire utilisé lorsque la formule a été initialement introduite.
Un vecteur a toujours des dimensions tandis que sa transposée a ses dimensions opposées, à savoir .
La formule de projection peut être réduite si le vecteur est déjà normalisé, car le dénominateur devient 1 puisque :
Faire le lien des projections à la transformation linéaire soulève la question, quelle est la matrice de transformation pour projeter un vecteur sur une ligne engendrée par ? La dérivation peut être généralisée pour le vecteur non normalisé, mais nous allons procéder avec le cas spécial où est normalisé, puis énoncer le cas général sous forme de théorème. Rappele-toi de garder l'exigence de dimension pour la multiplication des vecteurs et des matrices intacte ! Nous avons :
où aboutit à une matrice , qui est notre matrice de transformation de la transformation linéaire pour projeter sur de norme égale à 1. Nous avons le cas général comme le théorème suivant :
Soit un vecteur non nul dans exprimé sous forme de colonne, signifiant qu'il a les dimensions . Nous avons alors la matrice de transformation pour la transformation linéaire de projeter un vecteur sur comme :
de sorte que :
La matrice est symétrique et a un rang 1.
Les vecteurs colonnes d'une matrice de transformation pour une transformation linéaire sont les images des vecteurs de base standard sous :
Soutenu par la formule de projection, et le fait que le vecteur de base standard n'a que la composante k:th comme non nulle (qui est 1), nous avons que la k:th colonne pour notre matrice de transformation sera :
En appliquant cette information utile, nous avons la dérivation pour :
Projection sur un sous-espace
Après un résumé rigoureux et une dérivation de la formule de projection sur un vecteur , nous rendons les choses courtes pour la formule de projection pour un sous-espace. Le problème auquel nous sommes confrontés est comment projeter le vecteur sur un sous-espace de ? Nous nous intéressons à :
Ceci est le cas général de la projection de sur un vecteur , qui est le cas spécial de projection pour un sous-espace, lorsque le sous-espace est une ligne engendrée par le vecteur . Il y a deux façons de résoudre cette question, l'une consiste à déterminer une base pour et l'autre à déterminer une base orthonormée pour . Cette dernière n'est qu'un cas spécial de la première, mais elle réduit considérablement le problème. Nous commençons par introduire le théorème pour le cas général, où nous n'avons aucune exigence supplémentaire pour la base de .
Soit un sous-espace de engendré par la base
Nous avons alors la matrice de transformation pour la transformation linéaire de projeter un vecteur sur le sous-espace définie comme :
où est la matrice dont les colonnes sont constituées des vecteurs de base de :
Ainsi, nous avons :
Pour le cas spécial où forme une base orthonormée, nous avons que est une matrice orthonormée (simplement appelée orthogonale dans la plupart des littératures) et que :
Ce résultat réduit la matrice de transformation dans le théorème ci-dessus à :
Si nous examinons de plus près , nous pouvons étendre l'expression à quelque chose qui donne un sens intuitif :
De la dernière ligne, nous nous souvenons de la matrice de transformation pour projeter sur un vecteur normalisé , ce qui conduit au sens intuitif de reformuler la projection sur le sous-espace à :
Donc, si est une base orthonormée pour le sous-espace , nous pouvons projeter un vecteur sur soit en produisant la matrice de transformation avec des vecteurs colonnes de la base , soit en produisant la combinaison linéaire de projections sur chaque vecteur de base .
Théorème de projection pour les sous-espaces
Avant de plonger dans le théorème de projection, commençons par un échauffement. Disons que nous avons un vecteur et une ligne engendrée par le vecteur . Cela signifie que nous pouvons exprimer de manière unique par le vecteur de projection sur et son complément orthogonal , qui est un vecteur orthogonal à la ligne .
Nous avons :
Cet exemple est intuitif, mais que se passe-t-il lorsque au lieu de travailler avec une ligne dans nous considérons le sous-espace dans de dimension ? Il s'avère que la relation pour ce cas spécial vaut pour des dimensions plus élevées. Nous avons le théorème suivant connu sous le nom de théorème de projection pour les sous-espaces :
Le théorème de projection pour les sous-espaces
Soit un sous-espace de . Alors nous avons que chaque vecteur peut être exprimé de manière unique comme :
où et , appelé le complément orthogonal de .
Nous reconnaissons et pouvons utiliser la formule de projection pour un sous-espace pour calculer . Le vecteur suit simplement en soustrayant à , comme le suggère le théorème.
