Transformations linéaires

Bienvenue dans la partie la plus amusante du cours d'algèbre linéaire ! Cette section peut être quelque peu exigeante pour le débutant, mais avec une bonne introduction et le bon rythme, elle peut également être très agréable. Le cours d'algèbre linéaire est presque exclusivement à propos de l'équation suivante :

Jusqu'à présent, nous avons considéré cette équation comme un système linéaire d'équations et déterminé les ensembles de solutions pour les trois cas : une solution unique, des solutions infinies et aucune solution. Maintenant, nous allons regarder la matrice sous un autre angle, à savoir comme une transformation linéaire. Nous nous concentrerons sur les propriétés de la matrice du point de vue de voir comme une fonction. Reprenons la même équation, mais nommons les vecteurs et .

Maintenant, nous n'avons pas d'inconnues et pouvons plutôt voir comme une fonction qui transforme le vecteur en le vecteur . Cette section concerne l'aspect que peut prendre , comment se déroule la transformation et quelles interprétations géométriques peuvent être faites. Nous commençons par passer en revue ce qui s'applique généralement à la définition des fonctions, c'est-à-dire quelque chose qui s'applique également en dehors de ce cours.

Cette section est un peu difficile à digérer pour certains, donc c'est normal si cela ne vient pas naturellement au début. Mais il est important pour le débutant de pratiquer la pensée abstraite, alors nous commençons avec une explication de l'analogie entre les transformations linéaires et les fonctions que l'on a apprises dans les cours de calcul.

Regarde l'image ! Nous avons deux quantités, une à gauche et une à droite. Soit une fonction qui relie les éléments de l'ensemble de gauche à l'ensemble de droite. Alors l'ensemble de gauche est appelé le domaine de , tandis que l'ensemble de droite est appelé le codomaine de . Voyons le domaine comme une entrée pour . Nous avons alors un ensemble d'éléments à droite que nous pouvons voir comme une sortie de . Si nous notons l'entrée de comme , alors la sortie de est appelée , qui est la valeur de ou la transformation de . De plus, nous disons que associe à . Il est courant de noter les sorties avec une seule variable , comme dans . Cependant, n'a pas besoin d'être l'ensemble cible entier, et il est courant que couvre un sous-ensemble de l'ensemble cible, appelé intervalle ou image.

Trois classes de fonctions (et de transformations linéaires d'ailleurs) sont l'injection, la surjection et la bijection. Nous résumons avec :

Une observation intéressante que peut faire le débutant est que nous pouvons définir une correspondance bijective comme étant à la fois injective et surjective.

Soit définie par . Alors nous avons ce qui suit :

Soit définie par . Alors nous avons ce qui suit :

Soit définie par . Alors nous avons ce qui suit :

Revenons à l'équation :

et ne nous focalisons pas trop sur le fait que et sont habituellement notés comme des vecteurs inconnus, car il est courant d'utiliser la même notation dans ces contextes. Maintenant souvenons-nous que la matrice associe au vecteur . Mais qu'est-ce alors qu'une application ? Une application est une fonction dont l'entrée et la sortie sont des vecteurs et peut également être appelée une transformation. Une application est généralement notée avec une lettre majuscule telle que , ou . Si est une application qui transforme le vecteur de l'espace (noté et lu comme " dans ") en de l'espace , cette relation est notée ou parfois comme :

ce qui se lit comme " associe à ".
Dans un cours d'algèbre linéaire, les espaces pour le domaine et le codomaine sont généralement définis, donc soit est et est , de sorte que :

qui est généralement une notation plus familière dans ce cours.

Une linéarité ou un système linéaire en dehors des mathématiques est généralement défini comme quelque chose qui a une relation proportionnelle entre l'entrée et la sortie. Un système répond à la condition de linéarité, si, lorsque tu modifie son entrée, il renvoie une sortie modifiée en conséquence. Pour un exemple réel, nous pouvons regarder les finances personnelles. Imaginons un compte d'épargne sans intérêt. Supposons que nous ayons une épargne mensuelle de 10 USD. Cela signifie que nous avons économisé 120 USD en un an et 1 200 USD en dix ans. Si nous devions économiser le double, c'est-à-dire augmenter notre taux d'épargne d'un facteur de 2, nous aurions économisé 2 400 USD en dix ans. Si nous devions plutôt économiser dans deux comptes d'épargne séparés avec 10 USD par mois chacun, nous recevrions également le même montant total. Ce sont des exemples de systèmes linéaires, et aussi, une introduction à la définition d'une transformation linéaire.

Cette définition mène aux propriétés suivantes.
Si :

est une application linéaire, alors il s'applique que :

Avant de parler de ce qu'est une matrice de transformation, nous devons d'abord établir que toutes les transformations linéaires, ou applications, de vers sont des transformations matricielles. Nous montrerons d'abord qu'une transformation matricielle est une transformation linéaire, puis nous montrerons qu'une transformation linéaire doit être une transformation matricielle.

La matrice notée ci-dessus comme est appelée la matrice de transformation. Elle est souvent notée dans la littérature comme ou pour les transformations linéaires respectives et . Elle peut aussi être facilement notée comme . Les deux notes mentionnées précédemment sont écrites :

et peuvent apparaître dans des phrases comme la matrice de transformation pour , est la transformation de ou est la transformation représentée par .
L'aperçu ci-dessus est si intéressant, que nous le résumons à nouveau ici. La preuve est déjà claire dans l'énoncé précédent.

Soit une transformation qui associe à à l'aide de la matrice :

Nous avons alors :

Puis, nous pouvons exprimer la transformation comme suit :

avec mappant sur :

En résumé de la section précédente, nous avons :

Le fait que l'image soit un plan nécessite généralement une explication supplémentaire, mais ressemble à ce qui suit :

Note la dernière ligne ! Assurément, cela peut être comparé à la forme paramétrique d'un plan ? À savoir :

C'est généralement un point de confusion supplémentaire pour le débutant, mais nous introduisons cet aspect tôt, afin que la connaissance ait le temps de mûrir en perspicacité avant l'examen. Tout le contenu en algèbre linéaire est interconnecté, ce qui rend le cours conceptuellement difficile. Lorsque tu vois le contexte pour ce qu'il est sans être confus, alors tu sait que la perspicacité est en place !

Soit une transformation via la matrice :

Nous avons alors :

Nous disons que effondre sur . Dans ce cas particulier, tout et dans le point dans s'effondrent sur le point dans .

Trois types de transformations linéaires que tout le monde doit gérer, comprendre et être capable de dériver sont la rotation, la projection et la réflexion.

Par rotation en tant que transformation linéaire, nous entendons une matrice , appelée matrice de rotation, qui associe chaque vecteur à une rotation autour de l'origine selon un angle donné . Le débutant est censé apprendre cela à la fois pour et , et comme d'habitude, il est recommandé d'essayer de comprendre avant d'apprendre les formules par cœur.

Soit le vecteur résultant d'un vecteur arbitraire qui a été tourné dans le sens antihoraire autour de l'origine de l'angle . Nous avons alors que la matrice de transformation retourne comme suit :

Selon la formule générale de la matrice de transformation pour une transformation linéaire, nous pouvons exprimer pour :

comme :

Ainsi, le vecteur transformé peut être exprimé comme :

La dernière ligne est une combinaison linéaire de deux vecteurs avec les scalaires et . Graphiquement, cela peut être déduit à l'aide du cercle unité. Le débutant est censé connaître à la fois le cercle unité et les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente pour les angles standards :

La rotation autour de l'origine en 3 dimensions soulève les questions suivantes : autour de quel axe ? et avec quelle orientation ? Nous obtenons la réponse à la deuxième question avec l'aide de la règle de la main droite qui définit la direction d'un angle sélectionné (en deux dimensions, cela devient aussi simple que dans le sens antihoraire ou horaire). Le vecteur peut être tourné autour de l'axe , de l'axe ou de l'axe . S'il est tourné autour de plusieurs, il est plus simple de produire la matrice de rotation pour chacun des axes puis de les multiplier ensemble (appelé transformation composite). La matrice de rotation en est dérivée en utilisant la matrice de rotation en que nous avons dérivée dans la section précédente. Commençons par un exemple où le vecteur est tourné autour de l'axe . Cela signifie que nous verrouillons les coordonnées pour et appliquons la matrice de rotation uniquement pour les coordonnées et . Nous partons de zéro et avons :

où les éléments marqués peuvent être reconnus comme la matrice de rotation dans une partie de la matrice de rotation que nous notons . Note que dans la dernière ligne du vecteur résultat, la coordonnée est verrouillée avec et n'affecte pas les coordonnées et . Là, nous trouvons plutôt l'expression reconnue pour le mappage de la matrice de rotation . De manière analogue, nous pouvons arriver aux matrices de rotation correspondantes et avec rotation autour des axes et , respectivement. Nous définissons les trois :

Note cependant comment le signe moins change de place pour . Cela est associé à être cohérent avec l'orientation des trois axes et est lié à la règle de la main droite. Pour l'instant, la recommandation est d'accepter cela, car la compréhension complète peut nécessiter beaucoup de temps qui peut être consacré à d'autres parties du matériel du cours.

La matrice de projection prend un vecteur et le projette orthogonalement sur une ligne dans , ou sur une ligne ou un plan dans , en utilisant le théorème de projection. Nous passons en revue ici les deux matrices standard.

Soit la projection du vecteur sur le vecteur . Alors il est vrai que la matrice de transformation est :

Pour dériver la matrice de transformation, nous nous rappelons le théorème de projection pour projeté sur comme :

mais où nous remplaçons les vecteurs :

Alors nous pouvons dériver la matrice de transformation comme :

où la dernière ligne montre la formule pour la matrice de transformation .

Prenons la transformation linéaire :

qui projette le vecteur sur le vecteur :

À partir de la dérivation de la matrice de projection , nous avons que la matrice de transformation est :

Ainsi, la matrice de transformation pour la transformation linéaire de la projection sur un vecteur dans est :

Soit :

la transformation linéaire qui projette un vecteur sur le plan avec le vecteur normal . Alors la matrice de transformation est :

où est la matrice identité dans , et la matrice la plus à droite nous reconnaissons comme la matrice de transformation pour la projection vectorielle dans . Malheureusement, la matrice de transformation ne peut pas être notée plus joliment, mais la manière la plus facile est d'insérer d'abord les nombres du vecteur normal donné, puis de faire la soustraction. La dérivation est assez simple, tellement que nous l'avons apprise déjà au début du cours, à savoir la sommation de deux vecteurs. Voir l'image ! Où nous définissons le vecteur projeté sur le plan et comme la somme :

où est la projection de sur le vecteur normal du plan .

Cela nous amène à :

où est la matrice de transformation pour la projection sur le vecteur . Ainsi, nous avons dérivé la définition de la matrice de transformation ci-dessus.

Une fois que nous avons compris la projection sur un plan arbitraire, nous pouvons réutiliser la formule pour la projection sur le plan des coordonnées. Nous avons trois plans de coordonnées dans , à savoir, le plan , le plan et le plan . Nous prenons l'exemple du plan . Soit :

une transformation linéaire, avec la matrice de transformation projetant tout vecteur sur le plan . Cela signifie que :

Alors que les coordonnées et existent, la coordonnée devient 0, puisque le vecteur est projeté sur le plan . Nous pouvons à la fois dériver algébriquement et géométriquement la matrice de transformation pour :

et nous pouvons également confirmer en utilisant la formule pour la matrice de transformation pour une projection sur un plan arbitraire. La même chose s'applique aux deux autres matrices standard pour la projection sur le plan des coordonnées. Nous résumons les trois :

La réflexion d'un vecteur se réfère toujours à la transformation d'une ligne ou d'un plan dont le vecteur résultant est une image miroir de l'autre côté.

Nous avons la transformation linéaire :

qui reflète le vecteur par rapport à la ligne avec le vecteur direction . Sa matrice de transformation est :

où est la matrice de projection qui projette un vecteur arbitraire sur la ligne du vecteur direction . Nous nommons le vecteur résultant de la projection . (Rappele-toi que la formule de projection nécessite deux vecteurs, donc même si nous projetons sur une ligne, nous avons besoin d'un vecteur direction). Selon la transformation, nous pouvons écrire le vecteur résultant , qui est le vecteur de réflexion de autour de la ligne comme la somme :

ce qui se connecte à la définition de la matrice de transformation ci-dessus. La matrice de réflexion pour une ligne dans et pour un plan dans peut être dérivée de manière analogue.

Cette section est très technique, et donc nous avons mis l'accent sur sa concision. C'est une section succincte, mais elle peut apparaître dans la section de vocabulaire que chaque examen en algèbre linéaire propose.

Un opérateur linéaire peut se référer à différentes définitions. Dans le cours de base en algèbre linéaire, il est assez courant qu'un opérateur linéaire soit désigné comme une transformation linéaire avec le cas spécial que les dimensions entre le domaine et le codomaine sont les mêmes. À savoir que :

Tout simplement, nous avons dimensions à la fois à gauche et à droite de la flèche. Si ce n'était pas le cas, nous n'aurions pas un opérateur linéaire, seulement une transformation linéaire (à condition que la définition de la transformation linéaire soit respectée). Des exemples d'opérateurs linéaires sont la projection, la réflexion et la rotation. Ces deux derniers sont également appelés isomorphisme linéaire, ce qui signifie que l'image est inversible, ce qui signifie également que c'est une bijection.
Si un opérateur linéaire a une propriété de préservation de la longueur, c'est-à-dire :

l'opérateur est appelé un opérateur orthogonal. Le théorème suivant s'applique à ceux-ci :

Un opérateur orthogonal donne naissance à la définition d'une matrice orthogonale.

Ce qui conduit au théorème suivant :

Et enfin, nous relions tous les théorèmes et définitions avec le suivant :