Valeurs propres et vecteurs propres

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont souvent un seuil à franchir pour le débutant.

C'est dommage car ce n'est pas la section la plus compliquée en algèbre linéaire, mais c'est plutôt dans cette section que les lacunes des connaissances nouvellement acquises du débutant sont découvertes.

Si le débutant a acquis une bonne compréhension de base des sections précédentes, cela rendra l'expérience agréable.

Commençons par la définition d'un point fixe.

Note que le point fixe est lié à la matrice, selon la définition : "Un point fixe pour ...".
Chaque matrice a au moins un point fixe, à savoir , qui est appelé le point fixe trivial. La méthode pour trouver tous les points fixes de est :

où la dernière ligne est un système d'équations linéaires homogène, quelque chose que le débutant devrait être capable de résoudre à ce stade.

Rappele-toi les trois résultats possibles : une solution unique, infinité de solutions et aucune solution. Si nous combinons cela avec les connaissances sur le déterminant, cela conduit au théorème suivant :

Maintenant, nous sommes prêts pour la définition d'un vecteur propre, qui est un assouplissement de la définition d'un point fixe (assouplissement signifie ici que la définition devient moins stricte et plus ouverte d'esprit).

En résumé, tu peux traduire ce qui précède par :

Le vecteur propre est le vecteur qui, après multiplication par la matrice , conserve sa direction. La valeur propre est le facteur d'échelle qui affecte la longueur et l'orientation du vecteur propre après la multiplication.

Une valeur propre d'une matrice est le facteur d'échelle associé à chaque vecteur propre, ou vecteurs propres, et satisfait à ce qui suit :

Une description pratique est qu'un vecteur propre est un vecteur qui ne change pas de direction lorsqu'il est multiplié par la matrice , et une valeur propre est son facteur d'échelle qui ajuste sa longueur.

Pour une introduction plus approfondie, le débutant est invité à lire sur les vecteurs propres. Le théorème suivant est utile à comprendre :

Pour trouver les vecteurs propres et les valeurs propres d'une matrice , on procède comme suit :

La dernière ligne comporte une inconnue intégrée dans la matrice , à savoir , ce qui rend notre méthode habituelle de résolution de Gauss-Jordan délicate.

Nous faisons donc appel à nos connaissances sur le déterminant - nous cherchons des solutions non triviales au système ci-dessus, ce qui nécessite que le déterminant de soit 0.

S'il n'est pas nul, cela signifierait que le système a une solution unique, qui serait alors juste la solution triviale . Par conséquent, nous choisissons de supposer qu'il existe des solutions non triviales, et donc le déterminant doit être 0.

L'équation ci-dessus est appelée l'équation caractéristique, et nous pouvons facilement la résoudre pour les valeurs de . Nous montrons un exemple pour une matrice . Soit :

Nous avons alors :

La dernière ligne est appelée le polynôme caractéristique de la matrice. Nous voyons facilement que le nôtre a une double racine de et une racine simple de , et nous avons donc deux valeurs propres, et .

Pour trouver les vecteurs propres correspondants de chaque valeur propre, nous insérons les valeurs propres une à une dans l'équation :

Nous commençons par la première valeur propre.

Nous obtenons immédiatement une ligne zéro, mais faisons une opération élémentaire sur les lignes avant de définir les paramètres.

Maintenant, nous avons deux lignes zéro. Rappele-toi qu'au moins une ligne zéro est attendue, car notre hypothèse de base est que le déterminant est nul. Nous fixons deux paramètres.

et ainsi nous avons un espace de solution qui est un plan, à savoir :

Puisque l'espace de solution, également appelé l'espace propre, est un plan, nous cherchons deux vecteurs propres.

Nous sélectionnons le premier vecteur propre avec et le deuxième vecteur propre avec . Toutes les valeurs pour et fonctionnent bien tant que et ne sont pas parallèles. Nous obtenons :

Nous continuons avec la deuxième valeur propre et obtenons :

Nous obtenons immédiatement une ligne zéro ! Nous introduisons un paramètre et continuons à résoudre avec la méthode de Gauss-Jordan :

L'espace de solution est donc une ligne :

Nous choisissons et obtenons le troisième vecteur propre.

Ce qui conclut la réponse, mais nous résumons toutes les valeurs propres et vecteurs propres ici :

Soit définie comme :

avec les valeurs propres et vecteurs propres correspondants :

Si est une valeur propre de , cela signifie que l'équation suivante a des solutions non triviales comme espaces de solution :

que nous appelons les espaces propres de pour les valeurs propres correspondantes. Nous avons trouvé ces espaces propres dans l'étape précédente avant de sélectionner les vecteurs propres, donc ici nous montrons comment nous définissons les espaces propres lorsque nous avons les vecteurs propres donnés.

Comme nous avons deux valeurs propres, nous avons deux espaces propres (nombre de valeurs propres = nombre d'espaces propres). Nous les notons comme nous l'avons fait auparavant pour les espaces de solution ordinaires :

Cela nous amène à introduire deux définitions supplémentaires, la multiplicité algébrique et la multiplicité géométrique.