Matrices inverses

Soit une matrice . S'il existe une autre matrice telle que la multiplication matricielle entre elles résulte dans la matrice identité , cette matrice est appelée l'inverse et est notée . Il est alors important que :

Nous allons maintenant justifier l'existence de l'inverse de . Pour ce faire, nous devons partir des matrices élémentaires. En bref, chaque opération élémentaire sur les lignes peut être exprimée comme une multiplication matricielle, qui est alors appelée une matrice élémentaire.

Voici quelques exemples :

lorsqu'elles sont multipliées par une matrice de dimension égale

Ainsi, puisque chaque opération sur les lignes peut être exprimée comme une matrice élémentaire , cela signifie que si une matrice peut être réduite par lignes à en utilisant opérations sur les lignes, s'exprime comme :

De là, nous pouvons définir :

Pour être complètement satisfait, nous voulons également pouvoir justifier que est inversible. Nous nous appuyons sur le fait que chaque matrice élémentaire est inversible car elle effectue une seule opération sur les lignes sur chaque matrice et en partie parce que chaque opération sur les lignes est inversible.

Soit l'opération inversée de , alors nous avons :

Cela signifie que nous pouvons inverser la définition ci-dessus de la matrice inverse car il s'ensuit que :

Ceci est la base d'une belle preuve de l'existence de l'inverse , si et seulement si, peut être réduite par lignes à . Alors aussi peut être inversée ce qui ramène à .

Des trois cas pour chaque système linéaire d'équations, nous savons que lorsque la matrice réduite par lignes devient , l'ensemble des solutions est un point unique, c'est-à-dire une solution unique. D'où ce théorème suit :

Lorsqu'une inverse à existe, nous voyons la force dans la solution d'un système d'équations, car nous avons :

Pour trouver l'inverse , nous supposons qu'il peut, s'il existe, être exprimé comme le produit de k matrices élémentaires dans une équation où le côté droit est . Autrement dit :

est l'inconnu pour lequel nous voulons résoudre l'équation ci-dessus, qui est comme dans l'équation . Si nous convertissons ce qui précède en une matrice augmentée, nous obtenons donc :

Si le système d'équations ci-dessus a des solutions, il aura exactement une solution, à savoir l'inverse recherché . Pour savoir si le système a une solution, nous utilisons la méthode de Gauss-Jordan.

Soit :

Nous établissons une matrice augmentée pour ce qui précède et obtenons :

Avec la méthode de Gauss-Jordan, nous obtenons :

Maintenant, nous avons un terme de gauche dans la matrice augmentée exactement égal à , ce qui signifie que le système a une solution unique, et donc le terme de droite est exactement pour lequel nous avons résolu.

En résumé, nous avons :

Pour les matrices , il existe une formule pour trouver l'inverse si elle existe. Elle est liée au déterminant.

Si le déterminant n'a pas encore été introduit dans ce programme, tu peux retourner cette soif de connaissance à l'envers et te concentrer sur la première ligne de la définition ci-dessous.

Soit :

alors il s'applique à l'inverse que :