Distance dans l'espace
Un besoin naturel est de pouvoir calculer des distances dans l'espace. Cela peut être la distance entre deux points, entre un point et une ligne ou entre une ligne et un plan. Il existe des formules de distance pour les différents cas, et elles sont présentées ici.
La distance est toujours mesurée entre deux points. La formule de la distance équivaut à créer un vecteur entre deux points et à calculer sa longueur.
Il est tentant de les mémoriser, mais cela n'est pas recommandé car il y a un lien fort entre les étudiants qui ne réussissent pas l'examen et ceux qui mémorisent ces formules au lieu d'apprendre le métier.
Distance entre deux points
Par une distance , nous entendons toujours la distance la plus courte entre deux points, ce qui équivaut à calculer la longueur d'un vecteur qui a été créé à partir de ces deux points. La fonction suivante s'applique pour :
ce qui peut être reconnu à partir de la longueur d'un vecteur. Puisque chaque vecteur est une différence relative dans les différents termes, c'est-à-dire une flèche entre deux points, la formule de la distance entre les points peut être dérivée de la définition de la longueur d'un vecteur.
Les éléments suivants s'appliquent à la formule de distance :
Soient et des points dans l'espace . Alors :
si et seulement si
Distance entre un point et une ligne
Nous allons aborder deux méthodes pour calculer la distance entre un point et une ligne .
Méthode 1 : Produit vectoriel dans
Soit:
Prends un point situé sur la ligne . Avec un peu de créativité, tu peux voir que et forment un parallélogramme avec la hauteur . La surface est la base multipliée par la hauteur, qui est également égale à la longueur du produit vectoriel . Par conséquent, nous pouvons diviser ce dernier par la longueur de la base (le vecteur ) pour obtenir la hauteur .
La formule ci-dessus ne fonctionne que pour car le produit vectoriel n'est défini que dans ce cas.
Méthode 2 : Projection
Soit:
La distance peut être trouvée par projection, une relation illustrée par une simple somme vectorielle:
Par conséquent, il s'applique que:
Méthode 3 : Produit scalaire
Considère la plus courte distance entre le point et le point sur la ligne dont le vecteur forme un angle droit avec la ligne. Si les points et sont connus, le calcul de la longueur est simple, à savoir:
Souviens-toi que , ce qui signifie que le vecteur est orthogonal à la ligne . Nous trouvons le point inconnu en fixant l'exigence correspondante pour , c'est-à-dire l'équation:
Comme les deux vecteurs forment un angle droit, le produit scalaire devient 0. Le point est inconnu avec plusieurs coordonnées, ce qui résulte en plusieurs inconnus (un par coordonnée) alors que nous n'avons qu'une seule équation. Cependant, le point peut être exprimé en utilisant la forme paramétrique pour pour une certaine valeur de paramètre inconnue :
où et sont connus. Nous faisons la substitution suivante:
L'équation est résolue pour la valeur encore inconnue, à savoir , puisque le vecteur forme un angle droit avec . Lorsqu'elle est résolue, insère dans la forme paramétrique et obtiens le point désiré . Puis nous avons deux points connus, et , et la distance entre eux est la longueur de leur vecteur :
Méthode 4 : Créer un plan
Avec un peu de créativité, nous pouvons construire le plan qui contient le point et a un vecteur normal parallèle au vecteur direction pour . À partir de là, le point d'intersection entre et peut être déterminé, qui sera également le point le plus proche sur la ligne de . La procédure est la suivante :
Crée l'équation :
pour le plan avec vecteur normal = vecteur direction pour = .
La constante est obtenue en insérant le point dans l'équation du plan.
Insère la forme paramétrique pour dans le plan . Résous pour le paramètre (nous avons une équation et une variable).
Soit le paramètre qui représente le point d'intersection . Insère dans la forme paramétrique pour et obtiens .
Calcule la distance :
Distance entre un point et un plan
Soit un plan et un point dans l'espace comme suit :
Crée la ligne qui passe par le point et frappe le plan à angle droit. Le vecteur direction devient donc le vecteur normal du plan (que nous lisons à partir de l'équation du plan). Nous obtenons alors :
Nous cherchons le point d'intersection entre la ligne et le plan . La forme paramétrique pour exprime tous les points le long de la ligne, et nous pouvons exprimer chacun de ces points de la manière suivante :
Notre conception de garantit un point d'intersection précisément parce que le vecteur direction est le vecteur normal du plan. Par conséquent, nous mettons l'expression ci-dessus dans l'équation du plan :
L'équation ci-dessus est facilement résolue car seul est inconnu. Notons la solution comme :
ce qui retourne également le point d'intersection désiré lorsqu'il est inséré dans la forme paramétrique pour . Le point a donc les coordonnées suivantes :
Maintenant, et sont connus, et donc la distance est facilement calculée en créant un vecteur et en calculant la longueur :
Ce qui conduit à la formule de la distance entre un point et un plan. Encore une fois - il est recommandé de se souvenir de la méthode menant à la formule plutôt que de se souvenir de la formule par cœur !
Ligne droite
Une ligne droite ou simplement droite a les propriétés suivantes :
a une longueur infinie et la largeur d'un point
a une position fixe dans l'espace, contrairement aux vecteurs
est écrite sous forme paramétrique dans toutes les dimensions et ne peut être écrite de manière non ambiguë sous forme d'équation qu'en deux dimensions
La forme paramétrique de la ligne
La forme paramétrique pour la ligne , ou , est écrite comme suit :
où :
est un point connu sur la ligne qui détermine la position de la ligne
est le vecteur direction de la ligne qui détermine la direction de la ligne
est un paramètre et peut prendre n'importe quelle valeur entre et
La forme paramétrique fonctionne parce que l'expression est la somme du vecteur local et du vecteur , dont le résultat est exactement le point . L'image montre que quelle que soit la valeur de , le résultat est un point sur la ligne . Note que nous devons connaître deux points sur la ligne pour créer le vecteur direction .
Équation de la ligne en deux dimensions
L'équation standard de la ligne est un cas particulier car elle ne peut être exprimée que dans :
Pour construire l'équation, nous supposons que le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est 0, dans ce cas le vecteur normal et le vecteur direction :
Où les constantes , et sont :
Dérivation
Nous dérivons maintenant comment les constantes , et sont déterminées pour la ligne ;
est le vecteur normal à
est un point donné sur
est un point arbitraire sur
La dérivation est la suivante :
Plan
Un plan possède les caractéristiques suivantes :
est une surface plate, infinie et bidimensionnelle
a une position fixe dans l'espace
peut à la fois être exprimé sous forme paramétrique et écrit comme une équation
La forme paramétrique d'un plan
La forme paramétrique d'un plan est :
où :
est un point donné sur le plan
et sont deux vecteurs différents situés sur le plan
sont des paramètres et peuvent prendre n'importe quelle valeur entre et
Trois points connus sur le plan suffisent pour exprimer la forme paramétrique. Laissez , et être trois points connus. Nous pouvons alors construire les vecteurs comme suit :
L'équation d'un plan
L'équation standard d'un plan dans est :
où les constantes sont :
L'explication derrière les définitions des constantes est :
est le vecteur normal à
est un point connu sur
est un point arbitraire sur
La base pour la construction de l'équation du plan est que tous les vecteurs sur le plan ont un angle droit avec le vecteur normal du plan, rendant leur produit scalaire 0. Nous commençons avec et dérivons à partir de là :
La forme généralisée de l'équation du plan dans est donc :
Rappele-toi qu'un plan est toujours bidimensionnel, peu importe dans quel espace il se trouve. C'est une idée fausse courante parmi les débutants que l'équation du plan doit avoir exactement deux variables, par exemple et . Mais comme tu peux le voir ci-dessus, le plan peut avoir plusieurs variables, jusqu'à . Les dimensions du plan sont toujours deux, donc il s'étend dans l'espace le long de deux directions (rappele-toi la forme paramétrique du plan). Pour démêler le mélange du nombre de variables et de dimensions, nous avons les trois règles suivantes à mémoriser :
Un point a 0 direction et 0 dimension
Une ligne a 1 direction et 1 dimension
Un plan a 2 directions et 2 dimensions
Un exemple pratique est d'imaginer une feuille A4 dans une pièce. La pièce a trois dimensions (largeur, hauteur et profondeur) tandis que la feuille A4 a deux dimensions (largeur et profondeur). À vrai dire, cet exemple est déficient, en partie parce que la feuille a en réalité une hauteur de quelques millimètres et en partie parce qu'elle n'est ni infinie ni complètement plate (elle présente des irrégularités microscopiques). Heureusement, un ingénieur connaît l'art noble de simplifier efficacement la réalité.
Intersection
Interprétation algébrique et géométrique
Des exemples d'une intersection et de son interprétation géométrique peuvent être le point où deux lignes se croisent ou la ligne où deux plans se croisent.
Purement algébriquement, nous traitons des intersections lorsque un système d'équations a une solution, c'est-à-dire quel point ou points les équations du système ont en commun. Pour chaque système d'équations, un, et un seul, des trois cas suivants s'applique toujours :
une solution unique
une infinité de solutions
aucune solution
Ici, nous visualisons trois exemples - un pour chacun des trois cas de solutions d'un système d'équations dans : solution unique (un point), infinité de solutions (une ligne) et aucune solution.
Intersection de lignes dans
Pour trouver l'intersection de deux ou plusieurs lignes dans lorsque les équations sont données, il est plus facile de mettre en place un système d'équations.
La solution , si elle existe, est l'intersection recherchée. Nous trouvons la solution à l'aide de l'élimination de Gauss-Jordan.
Intersection de lignes dans
Pour trouver l'intersection de deux lignes, et , dans , il est plus facile de mettre leurs représentations paramétriques égales l'une à l'autre :
et bloquer l'un des paramètres, ou , en fixant l'un d'eux à , par exemple . Il reste alors :
Il y a maintenant une équation et une variable, à savoir le paramètre . S'il y a une solution, tu obtiens le point d'intersection à partir de la forme paramétrique pour lorsque . Si tu as plus de lignes, répète la procédure pour toutes les lignes.
Intersection entre plans
Pour trouver l'intersection entre les plans, nous montrons ici un exemple pour les trois plans , et dans . Nous établissons un système d'équations :
En utilisant l'élimination de Gauss-Jordan, nous résolvons le système d'équations. Un, et un seul, des trois cas suivants sera alors vrai :
solution unique - l'intersection est un point
infinité de solutions - l'intersection est une ligne
aucune solution - les plans ne se croisent pas
Intersection entre une ligne et un plan
Pour trouver l'intersection entre la ligne et le plan dans , nous mettons la forme paramétrique de la ligne dans l'équation du plan. Soit :
Chaque point sur la ligne peut être exprimé en utilisant sa forme paramétrique comme :
et puisque nous cherchons un point commun, nous pouvons supposer qu'un tel point existe et insérer l'expression dans l'équation pour :
Étant donné que est défini, c'est-à-dire que le dénominateur ci-dessus est non nul, la valeur est entrée dans la forme paramétrique pour pour obtenir le point d'intersection.
Forme paramétrique
La paramétrisation est le processus de création d'une forme paramétrique qui décrit implicitement une ligne, une courbe ou une surface (également appelée variété). L'idée est qu'au lieu d'exprimer explicitement une équation avec des variables, on utilise un paramètre qui peut prendre n'importe quelle valeur entre et . Compare ces deux expressions :
L'expression de gauche est la forme paramétrique qui décrit la même ligne que l'équation (l'expression de droite). Chaque valeur de exprime donc implicitement un point unique sur la ligne, tandis que l'équation décrit explicitement l'équilibre entre chaque coordonnée et .
