Gauss-Jordan

Avant de revoir la méthode de Gauss-Jordan, il est pratique de comprendre d'abord la transition du système d'équations à la matrice augmentée. En bref, la matrice augmentée est juste une façon d'écrire la même chose qu'avec le système d'équations. Nous commençons avec un exemple à deux variables :

Une brève explication de ce qui précède : Dans la première étape, nous convertissons l'expression en multiplication de matrices sous la forme , que nous pouvons utiliser dans la deuxième étape pour écrire le système d'équations sous forme de matrice augmentée :

où les éléments à gauche de la barre verticale correspondent aux constantes des variables dans le terme de gauche, et les éléments à droite correspondent aux constantes à droite du signe égal. Dans le cas où le terme de droite est le vecteur 0, nous simplifions la matrice augmentée pour ne contenir que le terme de gauche, par exemple :

Des exemples de matrices sous forme échelonnée sont :

Une matrice est en forme échelonnée si :

Des exemples de matrices en forme échelonnée réduite sont :

Une matrice est en forme échelonnée réduite si :

Les uns en gras sont appelés uns principaux et ont tous en commun que tous les éléments à leur gauche, s'il y en a, sont 0.

La pierre angulaire de la méthode de Gauss-Jordan est les opérations élémentaires sur les lignes. Brièvement, elles sont utilisées pour résoudre un système linéaire d'équations en utilisant les trois opérations autorisées et en les appliquant au système d'équations.

Nous montrons ces trois opérations sur les systèmes suivants, que nous convertissons d'abord en une matrice augmentée :

La première équation est notée , la deuxième est et ainsi de suite. Si et sont écrits à leurs places respectives, cela signifie que ces deux lignes vont changer de places.

La notation signifie que nous multiplions la première ligne par deux.

La notation signifie l'opération sur les lignes "première ligne sommée avec la deuxième ligne, qui est multipliée par -2".

Les étudiants tiennent souvent pour acquis que les opérations sur les lignes sont légales, mais trouvent difficile de donner une explication convaincante quant à pourquoi. Souviens-toi que les opérations sur les lignes manipulent le système, mais l'ensemble des solutions reste le même.
Pour des raisons pratiques, nous pouvons partir de l'équation la plus simple :

Le signe égal dans une équation se réfère à un équilibre entre gauche et droite. Cela signifie qu'une opération utilisant les quatre méthodes arithmétiques (addition, soustraction, multiplication et division) sur un terme exige les opérations correspondantes sur les autres termes pour honorer l'équilibre. Nous montrons une multiplication par 2 :

Maintenant nous étendons l'analogie. Puisque et ont la même solution, et sont donc équilibrés, il suit la même logique d'ajouter au côté gauche comme d'ajouter au côté droit :

Si nous prenons le même exemple pour un système linéaire d'équations avec une solution de , nous obtenons :

Ceci n'est pas une preuve mathématique des opérations sur les lignes, mais un raisonnement tout à fait valable qui justifie la procédure. Et souviens-toi - l'ensemble des solutions reste le même, bien que le système sera différent.

Pour résoudre un système d'équations, il faut déterminer son ensemble de solutions. L'objectif de la méthode de Gauss-Jordan est de résoudre un système linéaire d'équations à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes pour simplifier le système de manière à ce que nous puissions facilement lire quelle est la solution. Prenons le système suivant comme exemple :

Tout d'abord, nous écrivons la matrice augmentée pour le système, et à partir de là, nous pouvons trouver la matrice augmentée réduite, qui est également appelée forme échelonnée réduite.

De la dernière matrice augmentée, nous pouvons lire que :

Maintenant, nous montrons comment atteindre la bonne matrice augmentée à l'aide des opérations sur les lignes, étape par étape.

Nous avons terminé et pouvons voir qu'il existe une solution unique, à savoir le point . L'important à comprendre est qu'avec la méthode de Gauss-Jordan, l'ensemble des solutions est maintenu malgré les opérations sur les lignes, mais les équations dans le système sont changées et ne sont pas les mêmes. Voir l'exemple évident que l'équation de la première ligne de la première étape ne correspond pas à celle de la dernière étape dans la méthode de Gauss-Jordan :

Souviens-toi que pour tous les systèmes d'équations, l'un des trois cas différents s'applique ; solution unique, une infinité de solutions ou pas de solution.

Dans l'exemple précédent, nous avons vu une matrice augmentée réduite pour une solution unique, un point :

Dans le cas d'absence de solutions, c'est-à-dire que le système est incohérent, une contradiction est apparue sous la méthode de Gauss-Jordan. Si tu ne la vois pas directement, elle sera découverte à la fin par le fait que pour une ligne, tout le côté gauche sera 0 tandis que le côté droit sera non nul, par exemple ;

Cela signifie que la dernière ligne d'équations est ;

ce qui est évidemment faux et donc tout le système manque de solutions.

Le dernier cas, une infinité de solutions, signifie toujours que nous avons soit commencé avec moins d'équations que de variables, soit qu'une ligne complète zéro est apparue :

Dans le cas ci-dessus, cela signifie que nous avons deux équations restantes, tandis que la troisième a été réduite dans la réduction des rangées. Ce que nous faisons maintenant, c'est introduire un paramètre pour la ligne 3 :

et continuer avec les opérations sur les lignes :

La solution suit donc la forme paramétrique :

que nous connaissons comme la forme paramétrique d'une ligne, car elle a à la fois un point et une direction .

Si nous obtenons deux lignes zéro :

Nous introduisons deux paramètres et continuons à réduire les rangées :

dont la solution suit également une forme paramétrique :

Nous reconnaissons l'ensemble des solutions comme étant un plan, car il a deux paramètres et donc deux vecteurs de direction. Souviens-toi de la règle : deux directions = deux dimensions = un plan.