Séries

Une suite est une liste ordonnée d'éléments qui a un début mais pas de fin. La suite la plus élémentaire est la suite des entiers positifs . Nous appelons les éléments d'une suite des termes. L'indice commence généralement à ou à .

Il existe trois façons de présenter une suite :

Pour la notation, nous désignerons une suite par .

Une suite très célèbre est celle des nombres de Fibonacci, définie comme :

Cette suite est documentée depuis ans, et peut être trouvée dans la nature partout, par exemple dans les formes des œufs de poule, des queues de caméléons et du brocoli romanesque.

Une suite est dite croissante si pour tout nous avons , et majorée s'il existe un nombre qui est au moins aussi grand que le plus grand .

De même, une suite est dite décroissante si pour tout , , et minorée s'il existe un nombre qui est au moins aussi petit que le plus grand .

Une suite qui est à la fois majorée et minorée est simplement bornée. Elle reste obéissamment entre un certain et un certain .

Si lorsque nous laissons tendre vers l'infini, la suite tend vers un certain nombre , nous disons qu'elle est convergente, sinon elle est divergente.

Certaines suites divergentes tendent vers l'infini à mesure que augmente, d'autres sautent simplement, sans approcher aucun nombre. Un exemple du second cas est :

C'est une suite alternée, ce qui signifie que deux termes consécutifs ont toujours des signes opposés. Elle saute à jamais entre et .

Toutes les suites qui sont à la fois majorées et croissantes, ou minorées et décroissantes, convergent. C'est assez intuitif : une suite qui croît éternellement mais ne dépasse pas un certain nombre doit se rapprocher infiniment de à mesure que la suite s'allonge.

Suites divergentes

La suite ci-dessus diverge vers , tandis que la suivante diverge vers :

Suites convergentes

La suite ci-dessus est croissante et majorée, donc elle converge :

Enfin, cette suite est décroissante et minorée, convergeant vers :

Voici une séquence :

Remarque que le terme suivant est le dernier doublé. Ainsi, en appelant le -ème terme , on obtient

De plus, comme cela vaut pour tous les termes, nous pouvons écrire :

Note que dans ce cas est . Teste la correction de la formule pour les premiers termes !

Cela peut paraître déroutant au début. Mais tout ce que nous disons, c'est que la série est ce que nous obtenons si nous additionnons tous les éléments de la séquence . Donc, la série est en fait une somme.

Les nombres sont les sommes partielles de la série :

Les sommes partielles peuvent être écrites de manière plus compacte :

Un petit rappel : la grande lettre grecque zigzagante est le symbole d'une somme. Le en bas avec le en haut signifie : nous prenons la somme des termes d'indice à de ce qui est écrit après.

Dans l'exemple que nous avions, les sommes partielles seraient :

Alors, une série est une somme d'une séquence infiniment longue. Mais comment cela peut-il jamais être un nombre ? Si nous additionnons un nombre infini d'éléments, ne totalisent-ils pas toujours à l'infini ?

Eh bien, il s'avère que ce n'est pas le cas. Une certaine caractéristique magique inhérente aux mathématiques fait que certaines séquences, bien que infinies, s'additionnent à un nombre.

Ce sont des séries où la limite :

existe. Nous les appelons convergentes. Les séries où cette limite s'envole vers l'infini sont appelées divergentes.

Ce que cela signifie, c'est que si la série est convergente, nous pouvons trouver une limite supérieure pour que la somme reste toujours en dessous, au fur et à mesure que nous ajoutons de plus en plus de termes de la séquence .

Les séries divergentes, en revanche, franchiront toujours n'importe quelle limite, même si nous essayons de faire des efforts pour être généreux.

Note que même si la séquence converge, cela ne signifie pas que la série le fait. En fait, nous avons besoin que la séquence converge vers zéro pour que la série converge, et même cela n'est pas suffisant.

Dans les notes à venir, nous examinerons cela et deux autres méthodes pour déterminer si une série converge.

Les séries géométriques sont des séries de la forme :

Les termes constituent une séquence géométrique, de sorte que pour un certain .

Ces séries sont dans un groupe de quelques types de séries que nous pouvons calculer, tant que .

La série est un système standardisé pour les tailles de papier, où le plus grand est appelé . Dans , il y a de la place pour papiers de taille . Dans , il y a de la place pour , ou , ou , et ainsi de suite.

Cela signifie que nous pouvons écrire :

La somme à droite est une série géométrique, et elle est égale à . Nous allons le montrer dans un instant.

Ainsi, si nous mettons tous les papiers de taille ensemble, nous obtenons :

Astucieux, n'est-ce pas ?

Si cela ne t'a pas convaincu, attends juste la preuve surprenamment visuelle ci-dessous.

Pour une série géométrique générale :

le est le rapport de la série. Dans le cas du papier, .

Nous allons montrer pourquoi. Nous commençons par effectuer un tour de passe-passe, qui nous mènera à la somme de la série. Observe ces deux sommes :

La première est une somme partielle de la série.

En soustrayant , observe que la plupart des termes s'éliminent entre eux. Finalement, nous obtenons :

En réorganisant les choses, nous obtenons :

C'est la formule pour la somme partielle d'une série géométrique avec termes.

Lorsque nous laissons aller à l'infini, le disparaît (nous avons exigé ). Ainsi, lorsque , cela donne la somme de la série :

Donc, en utilisant et dans la formule ci-dessus, nous voyons que la somme de tous les papiers plus petits que est :

Ainsi, nous pouvons ajuster une somme infinie dans une feuille de papier !

Calcule la série géométrique ci-dessous :

Note que la formule commence à . Ainsi, nous ne pouvons pas utiliser la formule pour la somme géométrique directement. Mais en utilisant l'astuce suivante, nous pouvons transformer les expressions en deux sommes :

Nous pouvons maintenant utiliser les deux formules pour les sommes et les sommes partielles :

Les intérêts composés que tu as accumulés depuis le dépôt d'un montant sur ton compte d'épargne sont calculés par la formule :

où est le taux d'intérêt exprimé en pourcentage, et est le nombre de fois que la banque calcule les intérêts, généralement une fois par jour.

Y a-t-il une limite à la somme d'argent que nous pouvons gagner à partir d'un montant donné ?

Nous pouvons reformuler la question comme suit : Si , la série converge-t-elle ?

La réponse est non, et nous pouvons le prouver en utilisant certaines techniques connues sous le nom de tests de convergence.

De par sa simplicité, le premier test que nous utilisons généralement pour examiner la convergence d'une série est le test du terme.

Pour comprendre pourquoi c'est vrai, imagine ce qui se passerait si la limite n'était pas zéro, mais une autre valeur . Alors, quand , , et la somme des termes s'approchera de , où est le nombre de termes que nous considérons.

Puisqu'il n'y a pas de limite à la grandeur de , la somme deviendra infiniment grande ou petite, selon le signe de . Par conséquent, la série diverge vers .

Note que le théorème énonce une implication et non une équivalence. En d'autres termes, simplement parce que cette limite est zéro, nous ne pouvons pas conclure que la série convergera.

Revenons à la formule de calcul des intérêts composés :

En laissant , nous obtenons la série :

Ici, est une constante et un petit pourcentage, donc . Par conséquent, , le ème terme de la somme, tendra vers 0 avec l'augmentation de .

Par conséquent, le test du terme est non concluant, et nous devons passer à des tests supplémentaires. Nous étudierons d'autres tests de convergence dans les prochaines notes de cours.

La série :

diverge car si nous appliquons le test du terme, nous voyons que :

Si nous appliquons le test du terme à la série :

alors nous voyons que :

Puisque le test du terme nous donne la limite 0, nous ne pouvons pas tirer de conclusion sur la divergence ou la convergence, mais devons utiliser d'autres tests. Cette série est appelée la série harmonique et est en fait divergente.

Les choses commencent à devenir assez abstraites maintenant, alors prenons un pas en arrière et récapitulons où nous en sommes.

Une série était juste cette somme avec un nombre infini de termes :

Un avertissement : nous n'écrivons pas , car il n'y a pas de dernier terme . Nous voulons littéralement la partie "".

En calcul, nous voulons souvent savoir si une série a une valeur particulière. Peut-être qu'une série a une valeur de ou . Les séries peuvent aussi s'envoler vers l'infini, ou vers l'infini négatif !

Les séries apparaissent tout le temps dans le monde réel. Il existe de nombreuses applications en économie, en physique - et même dans les jeux d'argent. Par exemple, l'idée d'une série peut être utilisée pour déterminer si un pari est susceptible de rapporter ou non.

La règle de d'Alembert nous permet de déduire si une série a une valeur particulière, par opposition à ou . Dans la plupart des applications réelles, nous avons affaire au premier type de série.

Ok, donc, tu as une série. Maintenant, regarde le rapport de deux termes consécutifs :

Si la limite est , alors la série est convergente. Chaque terme devient de plus en plus petit, donc la série grandira de plus en plus lentement. Finalement, elle convergera vers une valeur.

Mais si la limite est , chaque terme devient de plus en plus grand. La série va exploser - croissant de plus en plus vite. Cela signifie que :

tend vers !

Mais que se passe-t-il si la limite est ? Nous ne pouvons pas dire. Comme nous l'avons déjà vu :

est , tandis que :

assume une valeur. Donc, la règle de d'Alembert n'est pas comme une théorie de tout, et il faut l'utiliser avec prudence.

En utilisant la règle de d'Alembert, nous pouvons voir si la série :

va converger. Tout d'abord, calcule la limite :

Ainsi, la série convergera selon la règle de d'Alembert.

Utilise la règle de d'Alembert pour savoir si la série ci-dessous diverge ou converge.

La règle de d'Alembert est réalisé comme suit :

Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par k :

Après cela, nous divisons le numérateur et le dénominateur par k :

La limite devient 1 et donc nous ne pouvons pas conclure si la série converge ou diverge.

Une série de est une série où les termes consistent en divisé par l'indice élevé à une certaine puissance :

Un cas particulier d'une série de est quand , qui est connue sous le nom de série harmonique et se présente comme suit :

Il existe une technique très simple que nous pouvons utiliser pour déterminer si une série de converge ou diverge, appelée le critère de Riemann.

Notez que la série harmonique, pour laquelle , diverge donc vers .

Pour déterminer si la série :

diverge ou converge, nous devons d'abord comparer le terme de la somme à :

Ceci est vrai car si nous rendons le dénominateur plus petit, les fractions deviennent plus grandes. Ainsi, nous obtenons :

Selon le critère de Riemann, alors :

converge. Comme cette série est toujours supérieure ou égale à notre série, notre série ne peut pas diverger, donc elle doit converger.

La série :

diverge car, nous comparons notre terme de somme à :

Ainsi nous avons ce qui suit :

Comme la série :

est toujours inférieure ou égale à notre série, notre série doit diverger car :

diverge selon le critère de Riemann.