Valeurs extrêmes et esquisses

Lorsqu'il s'agit de trouver la valeur optimale pour quelque chose, l'extremum est clé. Que ce soit en affaires, en analyse environnementale ou dans les habitudes d'étude, cela nous intéresse.

Ce sont tous des extrema :

Sur le graphique ci-dessus, nous avons :

Le graphique n'a pas de minimum global : il continue de descendre en se déplaçant le long de l'axe horizontal vers .

Il y a trois classes d'extrema :

En un point critique, la pente est nulle. Si nous appelons la fonction , ils sont trouvés en prenant la dérivée et en la fixant à zéro :

Pour déterminer si c'est un point max ou min, nous pouvons regarder les valeurs de la fonction autour de , ou la dérivée elle-même à proximité. Nous pouvons également, comme nous le verrons dans la section sur l'esquisse des graphiques, utiliser la seconde dérivée.

Parfois, le point trouvé n'est ni max ni min : si la fonction augmente ou diminue tout autour du point. Nous appelons cet aplatissement local un point de selle.

Si la fonction est définie sur un intervalle ouvert, il arrive que le max ou le min local ou global n'existe pas. Ce graphique montre un exemple où il n'y a pas de min local :

Passons aux choses sérieuses avec un exemple d'extremum :

La fonction est définie pour tous les , donc nous n'aurons pas à nous occuper de points terminaux ouverts.

En prenant la dérivée, nous obtenons :

La dérivée est définie pour tous les , donc n'a pas de points singuliers.

Les points critiques sont trouvés en fixant la dérivée à zéro :

Voilà notre point critique. En l'utilisant dans , la valeur de la fonction est déterminée :

Pour certaines fonctions, nous pouvons tracer une ligne droite qui suit parfaitement le graphique lorsque ou tend vers . Cette ligne est appelée une asymptote.

La fonction ci-dessus est . Elle a deux asymptotes : la ligne et l'axe des . Regardez la fonction : le premier terme fait que tend vers l'infini lorsque approche de zéro. Inversement, lorsque devient grand, le deuxième terme domine, faisant que la fonction se comporte comme pour les grands . Nous allons formaliser ces idées intuitives dans un moment.

Il y a trois types d'asymptotes : verticales, horizontales et obliques. Fondamentalement, la ligne peut être n'importe où dans le plan, tant qu'elle est droite.

Elles sont d'une grande aide pour esquisser le graphique, comme nous le verrons dans la section suivante.

Les trois types d'asymptotes nécessitent des approches différentes. Nous allons les passer en revue un par un.

Généralement, cela se produit si est une expression rationnelle dont le dénominateur est zéro en .

La définition d'une asymptote horizontale est similaire :

L'asymptote oblique est le mouton noir du trio :

Les expressions dans les limites ci-dessus disent simplement : lorsque nous nous éloignons le long de l'axe des , il n'y a aucune différence entre la fonction et la ligne droite .

Donnons :

- partons à la chasse aux asymptotes.

Nous abordons notre solution de manière systématique, en commençant par les asymptotes verticales.

Remarquez que si nous mettons , le dénominateur est nul.

Donc, il y a une asymptote verticale en .

Ensuite, qu'en est-il des asymptotes horizontales ? Essayons la limite :

La première limite tend vers l'infini, la seconde disparaît. Ainsi, la condition pour une asymptote horizontale n'est pas remplie.

Enfin, que se passerait-il si nous pouvions trouver une asymptote oblique ? Regardons à nouveau le calcul d'il y a un instant. La dernière étape révèle quelque chose d'intéressant. Car nous venons de montrer que :

Aha ! En déplaçant à gauche, nous obtenons :

Donc, est une asymptote !

Nous avons donc deux asymptotes : une verticale, à , et une oblique, . Le graphique de la fonction est visible ci-dessous.

Pour une fonction , nous indique quelle est la concavité de la fonction à chaque point. C'est-à-dire : tend-elle à se courber vers le haut ou vers le bas.

Pour une courbure vers le haut, formant une forme en U, la première dérivée augmente et donc la seconde dérivée est positive. Si c'est le cas en un point, nous disons que la fonction est convexe là-bas.

De même, là où la seconde dérivée de la fonction est négative, faisant décroître la première dérivée, on dit qu'elle est concave.

Les points où une fonction change de convexe à concave, ou vice versa, sont connus sous le nom de points d'inflexion. Connaître la concavité d'une fonction et trouver ses points d'inflexion peut nous aider à esquisser le graphique.

Nous avons précédemment examiné comment déterminer certaines caractéristiques des fonctions en utilisant les points critiques et les asymptotes. Maintenant, nous allons appliquer ces concepts pour tracer les courbes de fonctions.

Pour cela, nous commençons par créer un tableau de signes, contenant les caractéristiques cruciales d'une fonction dont nous avons besoin pour la tracer. Initialement, cela consistera en un axe des suivi de deux rangées pour et . L'axe des sera marqué avec les valeurs de qui nous intéressent pour la rangée respective, créant une colonne pour chaque valeur de qui nous intéresse et chaque intervalle entre elles.

Pour trouver ces valeurs de , nous recherchons deux choses :

Pour chacune de ces valeurs trouvées, nous ajoutons une colonne au tableau de signes, avec des colonnes supplémentaires entre elles.

Pour , ce qui nous intéresse, c'est la pente à gauche et à droite de chaque point critique, ainsi que là où est défini. Rappelons que la pente est nulle en un point critique, donc la valeur de la dérivée autour du point nous indiquera s'il s'agit d'un max local, d'un min local ou d'un point de selle.

En ce qui concerne , nous nous intéressons à la concavité de la fonction pour aider notre esquisse.

Nous insérons ces informations sur la fonction dans notre tableau de signes au fur et à mesure que nous les obtenons, et une fois terminé, nous devrions avoir tout ce dont nous avons besoin pour l'esquisser. Pour nous aider dans ce processus, nous ajoutons une dernière rangée au tableau de signes où nous indiquons comment tend à se comporter à chaque point d'intérêt, et dans les intervalles entre eux, en fonction des informations que nous avons recueillies.

La liste des choses à vérifier avant de commencer à esquisser est longue, et mieux retenue lorsqu'elle est vue sous forme d'exemple.

Passons en revue les étapes de l'esquisse de la fonction :

Sans dénominateur pouvant tendre vers à mesure que approche d'une certaine valeur , la fonction n'a pas d'asymptotes verticales à considérer dans le tableau de signes.

En appliquant une fois la règle de puissance, nous trouvons que :

Maintenant, une autre application de la même règle, nous obtenons :

D'abord, nous trouvons les points critiques en fixant la dérivée à zéro :

Avec peu d'effort, nous voyons que les deux points critiques sont et .

Examinons maintenant la valeur de la dérivée autour de ces points. Notre exemple est différentiable sur tout le domaine, donc nous pouvons choisir n'importe quels points entre et à l'extérieur des points critiques. Pour simplifier, nous choisissons , et :

La première chose que nous cherchons sont les points d'inflexion :

L'expression est seulement nulle là où le polynôme a des racines. Sans montrer le calcul ici, ces racines sont et .

Ensuite, nous nous intéressons à la concavité sur les intervalles entre et en dehors de ces points. Encore une fois, pour simplifier, nous choisissons quelques points , , et pour évaluer :

est convexe pour

est concave pour

est convexe pour

La première chose que nous aimerions trouver ici sont les valeurs de la fonction aux points critiques :

Ensuite, nous recherchons les intercepts pour les axes des et des de la fonction respectivement. En insérant dans la fonction, nous trouvons l'intercept pour l'axe des à . Ensuite, en regardant simplement la fonction, nous déterminons que sa seule racine est , donc il n'y a pas d'autre intercept pour l'axe des .

Enfin, nous aimerions trouver des asymptotes potentielles non verticales :

asymptote horizontale à

pas d'autre asymptote

La procédure a été longue, mais tellement utile. Après avoir complété le tableau de signes, il ressemble à ceci :

Tracer un graphique précis de la fonction est maintenant facile :