Optimisation
Problèmes d'optimisation
L'une des applications utiles du calcul est de trouver la meilleure solution possible à un problème, souvent soumis à certaines contraintes. C'est de cela qu'il s'agit dans l'optimisation.
De la maximisation du profit d'une entreprise à la minimisation du risque de cancer lié à l'exposition aux radiations, l'optimisation est un outil utile pour l'amélioration sur divers fronts.
Optimiser, c'est réduire le coût, et un problème d'optimisation est résolu en définissant et en minimisant une fonction de coût
Un problème d'optimisation consiste généralement en deux étapes :
Établir une fonction de coût basée sur l'objectif et les contraintes.
Résoudre le problème en minimisant la fonction de coût.
Souvent, la partie la plus difficile d'un problème d'optimisation est de le définir correctement. Il est important de considérer toutes les informations disponibles, et de les utiliser correctement lors de la construction de la fonction de coût. Peu importe la qualité de l'exécution de la deuxième étape si la fonction ne s'applique pas au problème.
La fonction de coût résulte généralement de la relation causale d'une variable indépendante sur une quantité d'intérêt. Les contraintes résultant d'un type de compromis, où nous voulons tirer le meilleur parti des ressources limitées disponibles, peuvent parfois être intégrées dans la fonction de coût. D'autres fois, les contraintes en termes de valeurs interdites définissent un intervalle de la variable indépendante.
Résoudre le problème est analogue à trouver un extremum, à savoir le minimum global de la fonction de coût sur l'intervalle. C'est là que le concept de calcul entre en jeu, où nous utilisons la dérivée de la fonction de coût pour trouver ses points critiques.
Il y a deux options pour localiser le minimum global : il peut être à un point critique, ou à l'un des points terminaux.
La fonction de coût n'a pas à représenter un coût réel en termes d'argent, mais le nom est précis dans le sens où nous recherchons sa valeur la plus basse sur un certain intervalle.
Même dans le cas de la maximisation d'une quantité, nous la transformons généralement en fonction de coût en la multipliant par . Ce qui était auparavant la valeur la plus élevée devient maintenant la plus basse, et notre chasse à un minimum commence.
Exemple 1
Un type classique de problèmes d'optimisation consiste à construire la région qui donne la plus grande surface pour une forme prédéterminée avec une circonférence limitée. Considérons le cas suivant :
Une agricultrice souhaite construire le plus grand enclos possible pour son cheval. Pour simplifier, elle décide de le faire rectangulaire. De plus, en raison de contraintes budgétaires, seulement 400 mètres de clôture peuvent être utilisés. Quelles devraient être les dimensions de l'enclos ?
Solution :
D'abord, nous considérons la surface d'un rectangle :
où est la largeur, et la hauteur.
Ensuite, comme la circonférence ne peut pas dépasser la longueur totale de la clôture, nous pouvons écrire en termes de comme :
La fonction de surface devient alors :
Comme il s'agit d'un cas de maximisation, nous inversons la fonction de surface pour obtenir la fonction de coût :
Nous prenons la dérivée de la fonction de coût, et l'égalons à zéro pour trouver les points critiques :
et nous réalisons que est le seul point critique de la fonction de coût.
Il nous reste alors 3 candidats pour la largeur qui minimisent le coût, dont l'un est le point critique que nous venons de trouver. Les deux derniers sont les points terminaux. Comme la circonférence est de 400 et que l'enclos doit être rectangulaire, la largeur doit être comprise entre 0 et 200, qui seront nos points terminaux.
Le coût le plus bas est atteint à notre point critique , ce qui maximisera la surface de l'enclos.
Cela règle la largeur, il ne reste plus qu'à trouver la hauteur du rectangle :
En conclusion, les dimensions optimales seront un enclos carré avec un côté de 100 mètres.
Exemple 2
Rendons le problème un peu plus complexe. La tâche est largement la même, mais cette fois, l'agricultrice ajoute une condition supplémentaire.
Le cheval a besoin d'accès à l'eau, et donc l'agricultrice souhaite utiliser intelligemment une rivière sur la propriété et placer les coins supérieurs de l'enclos un peu dans l'eau. La rivière a la même forme que la courbe de la fonction , où l'axe des est pris comme une route qui ne peut pas être incluse dans l'enclos. Quelles devraient être les dimensions de l'enclos pour obtenir la surface maximale dans ce cas ?
Solution :
Nous voulons trouver une expression de la surface entourée par la clôture. D'abord, notez que la surface dans le premier quadrant est donnée par
Comme la surface se compose de deux de ces parties, la surface totale de l'enclos est donnée par :
Maintenant, nous pouvons définir notre fonction de coût comme :
Ensuite, nous trouvons tous les points critiques en prenant la dérivée et en la mettant à 0.
Comme les distances négatives n'ont pas de sens, nous ne sommes intéressés que par la solution positive. Ainsi, la base de l'enclos doit être longue de mètres, et la hauteur devient mètres.
La dernière chose que nous devons vérifier est que le budget, permettant au maximum 400 mètres de clôture, n'est pas dépassé :
Ainsi, ces dimensions sont autorisées, et nous avons optimisé la surface de l'enclos, en fonction des contraintes données.
