Règle de L'Hôpital pour calculer des limites
Jusqu'à présent, nous n'avons pu calculer que les types de limites les plus basiques. Et par là, je veux dire des limites qui peuvent être résolues en substituant les valeurs de la fonction ou après un peu de travail algébrique et l'aide de limites standard.
Il y a quelques limites qui, malgré avoir subi ta torture algébrique, ne se dévoilent pas. Ce sont les redoutées limites et .
Dans certains cas, tu peux utiliser un astuce appelée la règle de L'Hôpital.
Ok, elle a en fait été découverte par le mathématicien suisse Johann Bernoulli. Cependant, un riche Français appelé L'Hôpital a payé Bernoulli pour divulguer toutes ses découvertes mathématiques. D'où le nom de la règle de L'Hôpital.
En fait, Bernoulli a également été le premier à découvrir le nombre , communément appelé le nombre d'Euler, Bernoulli devrait recevoir plus d'éloges !
La règle de L'Hôpital dit que les limites et peuvent être calculées en différenciant le numérateur et le dénominateur, en supposant qu'ils sont différentiables.
Tu ajoutes généralement le petit H juste pour signifier que tu as utilisé la règle de L'Hôpital. Pour voir comment cela fonctionne, évaluons la limite suivante :
En appliquant la règle de L'Hôpital une fois, nous obtenons :
Puis en faisant cela deux fois de plus, nous obtenons :
Pour arriver au cœur du sujet, nous avons dû utiliser la règle de L'Hôpital un total de trois fois ici. Comme tu peux le voir sur le graphique, la fonction approche effectivement de .
Développements de Taylor pour calculer des limites
Donc, il existe essentiellement trois types de limites :
Les limites amicales : Rien d'étrange. Il suffit de substituer quelques grandes valeurs de et de voir ce qui se passe. Tu y arriveras par la force brute ou en utilisant des limites standard.
Les limites : Utilise la règle de L'Hôpital.
Les limites : Utilise la règle de L'Hôpital.
Mais la règle de L'Hôpital n'est pas nécessairement ton meilleur choix. Tu pourrais devoir calculer une dérivée monstrueuse, et tu pourrais te retrouver à nouveau dans une situation de . Si c'est le cas, tu dois refaire la chose de L'Hôpital. Et peut-être encore. Continue jusqu'à obtenir un dénominateur non nul. Chaque fois que tu utilises L'Hôpital, les dérivées peuvent devenir encore plus compliquées.
Cependant, il y a une meilleure solution. Je sais que cela semble un peu tiré par les cheveux, mais nous pouvons utiliser les développements de Taylor pour traiter certaines limites aussi.
Par exemple, regarde cette limite :
Tu pourrais reconnaître cette fonction de la section sur la règle de L'Hôpital. Là, nous avons dû utiliser la règle de L'Hôpital trois fois pour obtenir une réponse.
En utilisant les développements de Taylor du numérateur et du dénominateur, nous obtenons :
La dernière expression tend vers lorsque . Et voilà. Pour être honnête, cela a également impliqué pas mal de travail. Certaines limites sont désagréables, quelles que soient les méthodes utilisées. Mais cela aurait été plus difficile en utilisant L'Hôpital.
Quoi qu'il en soit, remarque comment les termes d'ordre inférieur s'annulent et les termes d'ordre supérieur à disparaissent. Satisfaisant, n'est-ce pas ?
