Intégrales

Le théorème fondamental de l'analyse a un nom grandiose. Je veux dire, il a le mot "fondamental" dans son nom.

Dans le monde des mathématiques, les théorèmes les plus fondamentaux sont des citoyens de première classe. Ensuite dans l'ordre hiérarchique viennent les théorèmes avec des noms, comme le théorème des acroissements finis. Puis il y a les théorèmes sans nom, qui sont référencés comme "théorème X.X" dans les manuels. Enfin, nous avons les corollaires. Les corollaires sont des parias sociaux, et ils ne sont même pas accordés les droits les plus basiques.

Tu pourrais être impressionné par le théorème fondamental de l'analyse, car il a été couronné de l'épithète "fondamental". Mais c'est un peu décevant. Tout comme tu pourrais être impressionné par quelqu'un avec une voiture chère et une montre mais découvrir par la suite que cette personne n'était pas si spéciale. Tu découvriras que le théorème fondamental de l'analyse est un peu une déception.

Ok, voici ce que dit le théorème fondamental de l'analyse :

Si est continue sur et :

alors est dérivable et a pour dérivée . C'est tout. Tu peux aussi penser à comme décrivant l'aire jusqu'au point , comme ceci. Ainsi, le théorème fondamental de l'analyse relie l'aire sous le graphique à la valeur de la fonction.

Mais il y a en fait un corollaire important au théorème fondamental de l'analyse. Il s'avère que tu peux calculer une intégrale comme la différence en . Voici ce que je veux dire.

Ce corollaire est utilisé tout le temps. Ainsi, l'ordre hiérarchique dans le monde des mathématiques ne reflète pas vraiment l'utilité de chaque théorème.

L'intégrale est l'aire sous la courbe. À la fin de cette note de cours, tu comprendras pourquoi. Tu sauras également d'où vient le symbole . Mais pour apprendre, il faut y travailler. Alors nous commencerons par faire un peu de vélo.

Nous allons faire du vélo en montagne.

Nous commençons avec enthousiasme, mais dès que nous commençons l'ascension, l'acide lactique s'accumule et nous réduisons progressivement la vitesse. Au sommet, nous roulons lentement, tranquillement. En descendant la pente, nous laissons la vitesse augmenter progressivement.

Le graphique vitesse-temps de ce voyage à vélo pourrait ressembler à ceci :

Ici, est la vitesse et est le temps.

Disons que nous voulons savoir combien de distance nous avons parcourue, et tout ce que nous avons est ce graphique, comme tu le sais peut-être :

avec la distance parcourue, donc pour ce graphique amical, il s'agit simplement d'additionner les aires des triangles et des rectangles :

Additionner ces aires facilement calculées nous donne la distance totale parcourue.

Supposons que nous ne voulions pas nous conformer à changer notre vitesse linéairement. Nous obtenons alors un graphique de vitesse courbe sous lequel nous devons calculer l'aire.

Faute de méthodes pour calculer les aires d'objets irréguliers et indisciplinés, notre meilleur pari est de réduire la courbe à quelque chose que nous pouvons calculer facilement. Par exemple, des rectangles :

Dans cet exemple, nous divisons le domaine de la fonction en petits intervalles . La hauteur du rectangle pour chaque intervalle est prise pour être la valeur de la fonction en son milieu.

Alors, en appelant la hauteur du premier rectangle , son aire est . Le suivant a une aire de , et ainsi de suite jusqu'au dernier, avec une aire de .

Pour obtenir l'aire sous le graphique, prends la somme de tous les rectangles :

Choisir le milieu de chaque intervalle pour définir la hauteur est juste un choix arbitraire. Nous aurions pu choisir n'importe quel point sur l'intervalle. D'autres façons de choisir approximeront également la fonction.

En sommant tous les rectangles, nous arriverons à une certaine distance de la réponse exacte.

Cependant, en rendant de plus en plus petit, l'approximation devient de mieux en mieux :

..jusqu'à ce que nous rendions les rectangles infiniment minces, réduisant le à un différentiel minuscule . Alors, la somme des rectangles devient exactement la même que l'aire sous la courbe. Ce que nous avons n'est plus une somme, mais une intégrale, représentée par un allongé.

Soit la valeur exacte à l'intervalle actuel minuscule. Soit la fin du domaine étudié . Alors, l'intégrale est :

Une définition rigoureuse suivra dans la prochaine note.

Certains graphiques plongent sous l'axe des . Lorsque nous voulons trouver l'aire sous le graphique pour une telle courbe, nous soustrayons l'aire qui se trouve sous du reste. Cela revient à dire que les hauteurs des rectangles infiniment minces sont négatives pour ces intervalles.

C'est l'essence du théorème des acroissements finis en forme intégrale. Il dit simplement que nous pouvons trouver un tel que l'aire du rectangle soit la même que l'aire sous le graphique.

La fonction doit être continue pour que le théorème soit valable.

Formellement :

D'accord, cela semble raisonnable, mais pourquoi nous embêter à faire un théorème de quelque chose qui semble juste évident ? Eh bien, c'est une partie importante de la preuve de l'un des théorèmes les plus centraux de ce cours : le théorème fondamental de l'analyse. Ce théorème sera présenté dans la note de cours suivante.

Pour le plaisir, voyons où nous trouvons la valeur de satisfaisant le théorème pour :

sur [0, 3].
En intégrant , nous obtenons :

Dans notre cas, la longueur de l'intervalle est . Quelle valeur à mettre dans , pour obtenir ?

Nous voyons que nous avons besoin que . Si nous laissons , nous avons terminé.

Nous avons précédemment couvert le concept d'intégrales indéfinies, et vu comment elles se rapportent aux antiderivées. Comme le nom l'indique, il existe également quelque chose appelé intégrales définies.

Dans la section précédente, nous avons discuté de l'aire sous une courbe de fonction. Maintenant, nous allons voir comment l'intégrale définie relie l'aire sous la courbe et l'intégrale indéfinie.

Disons que nous avons une fonction , et la forme de l'intégrale indéfinie de :

où est une antiderivée de , et C est une constante.

L'intégrale définie est définie en utilisant l'indéfinie comme suit :

Ici, est appelé l'intégrande, et nous indique que est la variable d'intégration par rapport à laquelle nous prenons l'antidérivée. et sont appelés les limites d'intégration, où est la limite inférieure et la limite supérieure.

Selon cette définition, nous devons être capables de trouver des antidérivées de entre et pour qu'elle soit intégrable là. Cependant, il ne doit pas s'agir de la même antidérivée sur tout l'intervalle. Comme nous le verrons plus loin, nous pouvons diviser l'intégrale en sous-intervalles plus courts et additionner les intégrales de ceux-ci.

En d'autres termes, l'intégrale définie, ou simplement l'intégrale, de de à est l'intégrale indéfinie évaluée en , moins l'intégrale indéfinie évaluée en . Remarque que, à cause de la soustraction, la constante s'annule et il n'est pas nécessaire de l'inclure dans le calcul.

Il s'avère que cette procédure calcule exactement l'aire entre l'axe des et la courbe de la fonction, où l'aire au-dessus de l'axe des est positive, et l'aire en dessous est considérée comme négative.

Pour voir ce que cela signifie en pratique, regardons l'exemple le plus simple :

Soit , et considérons l'aire sous le graphique de à . Cela sera simplement un carré avec un côté de et une aire de .

Nous savons que l'intégrale indéfinie de est , alors voyons ce qui se passe lorsque nous résolvons le même problème en utilisant des intégrales définies :

comme nous l'attendions.

Il existe certaines propriétés des intégrales qui nous aident à les calculer efficacement :

Propriétés des intégrales

1. Inverser les limites change le signe de l'intégrale :

2. Les intégrales dépendent linéairement de l'intégrande :
Si et sont des constantes, alors :

3. L'inégalité triangulaire de s'étend aux intégrales :
Si , alors :

4. L'intégrale peut être divisée en sous-intervalles :

5. L'intégrale d'une fonction paire sur un intervalle symétrique autour de 0 est égale au double de l'intégrale du côté positif de l'intervalle :
Si , alors :

6. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique autour de 0 est égale à 0 :
Si , alors

7. Les intégrales préservent les inégalités :
Si and , alors