Techniques d'intégration

L'intégration est un artisanat. Certains tours de passe-passe tu dois les tatouer à l'intérieur de tes paupières, tandis que d'autres nécessitent que tu développes une intuition. Heureusement, il y a des directives même dans la jungle de l'intuition. Nous sommes ici pour te tendre la liane alors que tu te jettes dans la nature sauvage.

Cette section est consacrée à quelques astuces et méthodes très pratiques dont tu auras besoin là-bas. La première est une bête polyvalente appelé changement de variable.

Le changement de variable consiste à déplacer l'intégrale dans un autre système de coordonnées où elle semble plus simple. Nous voulons la transformer pour que l'intégrale devienne aussi facile que possible à résoudre. Ensuite, nous la résolvons sous sa forme déguisée, et après nous revenons au système avec lequel nous avons commencé.

Assez parlé, faisons-le. Le changement de variable repose sur la règle de la chaîne. Le théorème peut sembler un peu intimidant au premier abord, mais en le comparant avec les exemples, tu obtiendras une sensation pour cela.

Regarde le théorème. Il dit : tu peux remplacer le par une certaine fonction dans l'intégrande, à condition de bien ajouter le et de changer les limites d'intégration. Je répète, n'oublie pas de modifier les limites en conséquence lorsque tu fais le changement.

Ne t'inquiète pas si tu es confus à ce stade. Nous allons montrer quelques exemples maintenant.

Problème :

Solution :

Ici, nous identifions l'intégrande comme quelque chose de la forme que nous souhaitons simplifier.

Pour ce faire, nous introduisons . C'est le changement de variable. Nous appelons la nouvelle variable pour ne pas nous confondre avec l'espace dans lequel nous sommes.

Avec défini de cette manière, nous prenons la dérivée par rapport à :

De manière quelque peu vague, nous déplaçons maintenant le de l'autre côté, obtenant :

Cela signifie que nous pouvons remplacer dans l'intégrande par

Ainsi, l'intégrande et le différentiel se transforment avec :

Hé, c'est vraiment joli ! En général, nous voulons choisir le changement de cette manière, de sorte que les termes s'éliminent mutuellement lorsque nous introduisons le changement dans l'intégrale.

Mais ! Avons-nous oublié quelque chose ?

Oui, nous avons oublié les limites d'intégration. En posant , nous obtenons , et de même si alors .

Finalement, le changement donne :

Problème :

Solution :

Nous pouvons utiliser le changement de variable suivante pour résoudre l'intégrale :

les bornes d'intégration sont alors et , l'intégrale devient donc :

en évaluant aux bornes, nous obtenons :

Problème :

Solution :

Nous pouvons utiliser le changement suivante pour résoudre l'intégrale :

note qu'il n'y a pas de bornes d'intégration, donc l'intégrale devient simplement :

en substituant , nous obtenons :

Les changements de variable trigonométriques sont une sous-catégorie de changements de variables où nous remplaçons soit une variable par une expression trigonométrique, soit l'inverse.

Nous allons passer en revue trois cas courants où ce type de changements est notre sauveur.

Disons que nous sommes confrontés à une intégrale comme celle-ci :

Si ou est un entier impair, nous utilisons le changement de variable trigonométrique. Nous avons . Ainsi, si avec (un certain entier), nous pouvons réécrire l'intégrale comme :

Ensuite, poser fera l'affaire. Note que le disparaîtra car .
Si à la place, est impair, nous pouvons de la même manière utiliser .

Calculons l'intégrale :

D'abord, réécrivons :

Ensuite, notre intégrale peut être réécrite comme :

Maintenant, effectuons le changement de variables suivant :

cela transforme notre intégrale en :

Disons que nous avons :

Et ensuite ? Nous ne pouvons pas utiliser le dernier tour car est pair. Cependant, une identité trigonométrique astucieuse que tu connais peut-être fera l'affaire.

En utilisant que , nous réarrangeons un peu les choses. Cela nous donne :

C'est bien, car n'est pas difficile à intégrer.

De même, remplacer par donne

Il est fortement recommandé de mémoriser soit la technique de différenciation soit les expressions ci-dessus, car elles ont tendance à apparaître partout.

Évaluons maintenant l'intégrale :

Dans la première étape, avec l'aide de la formule pour l'angle double, nous pouvons supprimer la puissance de , ainsi :

Maintenant, notre intégrale devient :

Il y a trois cas où les changements de variable trigonométriques inverses sont excellentes : les intégrales avec ou .

Cas 1

Si l'intégrale contient , , alors utilise .
Note que cela n'a de sens que si . En faisant le changement de variable, nous obtenons :

Si nous avons besoin des autres fonctions trigonométriques de , nous pouvons les déduire d'un triangle rectangle correspondant aux faite.

Cela donne :

et

Cas 2

Si l'intégrale contient ou , avec , nous utilisons .

Les autres fonctions trigonométriques de sont données par un triangle similaire comme dans le premier cas :

Ainsi :

et :

Cas 3

Si l'intégrale contient où , nous pouvons utiliser .

Ce changement de variable nécessite une attention particulière. Même si :

nous ne pouvons pas toujours retirer la valeur absolue du tangent. Les autres cas ci-dessus n'ont pas de tels signes d'avertissement clignotant au-dessus d'eux.

Cependant, observez que est réel si ou .

Si , alors :

et .

Si , alors

et .

Le premier cas donne , le deuxième .

Je sais, c'était beaucoup. Mais prends quelques respirations et réfléchis-y à nouveau, en regardant les fonctions trigonométriques et les changements de variable que nous avons faites.

Dans cet exemple final, nous allons évaluer l'intégrale

Nous pouvons flairer un changement de variable trigonométrique avec soit soit , à cause de la parenthèse dans le dénominateur, à savoir :

L'opportunité que nous voyons est que nous pouvons, pour une certaine constante , faire un changement de variable de sorte que :

La première fois que tu vois cela, cela semble probablement tiré par les cheveux, mais c'est une astuce astucieuse que tu apprendras facilement à trouver après un peu de pratique.

Ainsi, nous effectuons le changement de variables suivant

Ensuite, notre intégrale devient

En regardant le premier triangle, notre réponse devient

Lorsque nous avons appris les dérivées, nous avons vu que les produits de fonctions compliquent un peu les choses, et nous devons recourir à la règle du produit lors de la dérivation.

Il en va de même pour l'intégration. Pour intégrer un produit de deux fonctions, la méthode que nous pouvons souvent utiliser est appelée intégration par parties. En fait, cette technique peut être vue comme la procédure inverse de la règle du produit pour la différenciation.

Soient et deux fonctions différentiables. Alors nous avons :

Maintenant, si nous intégrons les deux côtés par rapport à , nous obtenons :

que nous pouvons réarranger comme :

Cette formule est la base de la méthode d'intégration par parties, souvent écrite ainsi :

ou sous une forme condensée :

Lorsque nous sommes confrontés à une intégrale d'un produit de deux fonctions, nous imaginons l'intégrande comme le produit de et dans l'intégrale de gauche. Nous pouvons alors la résoudre en évaluant l'expression sur le côté droit.

Bien que l'intégrande soit toujours un produit de fonctions, nous pouvons souvent choisir et de manière astucieuse pour simplifier le processus d'intégration :

Considérons l'intégrale suivante :

nous choisissons de représenter l'une des fonctions par , et l'autre avec par . Par exemple et . Ici, nous voulons que ait des antidérivées simples, puisque nous devrons d'abord l'intégrer pour obtenir , puis encore une fois selon la formule.

Il existe deux règles empiriques concernant le choix de et , qui peuvent aider à rendre l'intégration aussi simple que possible :

Rappelle-toi toujours que et sont ambigus, et tu es libre de réarranger algébriquement l'intégrande, et de définir les deux fonctions comme cela te convient.

Dans certains cas, une seule application de l'intégration par parties n'est pas suffisante, et nous pourrions être obligés de l'appliquer plusieurs fois de suite avant que l'intégrale ne soit résolue.

Pour illustrer cette technique, nous calculerons :

Rappelons la formule d'intégration par parties :

Notre intégrale est un produit d'une exponentielle et d'un polynôme, alors choisis :

Alors nous obtenons :

Dans cet exemple, nous voulons calculer :

C'est un produit d'un polynôme et d'une fonction trigonométrique. Utilisons la formule pour l'intégration par parties :

choisis

Maintenant, utilisons cela pour résoudre l'intégrale avec l'intégration par parties :

Dans le dernier terme, nous avons une intégrale d'un polynôme multiplié par une fonction trigonométrique, donc nous devons utiliser l'intégration par parties une fois de plus :

Finalement, notre solution est :

Dans certains cas, tu pourrais vouloir intégrer une fonction comme , où et sont des polynômes.

Il existe une procédure standardisée pour aborder ces types de problèmes. À vrai dire, intégrer ces types de fonctions est assez ennuyeux.

En ce qui concerne la décomposition en fractions partielles, voici quelques lignes directrices courantes :

Tu verras ce que nous voulons dire dans un moment, en travaillant à travers quelques exemples.

Pour voir comment on utilise l'intégration par parties, considérons l'intégrale :

D'abord, nous voulons simplifier la fonction à l'intérieur de l'intégrale :

Ensuite, nous voulons trouver des constantes et telles que nous puissions écrire les fractions comme :

En comparant les deux côtés de l'équation, nous voyons que et doivent satisfaire :

En résolvant ce système d'équations pour et , nous obtenons :

Maintenant, nous pouvons transformer notre intégrale ainsi :

Dans cet exemple, nous voulons évaluer l'intégrale :

en utilisant les fractions partielles. Cette fraction peut être simplifiée comme :

En comparant les deux côtés de l'équation, nous voyons que les constantes , et doivent satisfaire :

En résolvant cela, nous obtenons :

Maintenant, nous pouvons transformer notre intégrale ainsi :