Dérivées des logarithmes et des exponentielles

La fonction exponentielle possède une propriété très pratique : elle est sa propre dérivée. Nous verrons comment nous pouvons utiliser cela pour différencier n'importe quelle fonction exponentielle.

Comme nous l'avons vu dans l'introduction, toutes les fonctions exponentielles ont des dérivées exponentielles. La dérivée et la fonction ont également la même base. La dérivée de toute fonction différentiable se présente donc ainsi :

La différence entre les dérivées des fonctions exponentielles est la constante qui apparaît. Pour , .

Les fonctions du type apparaissent partout, car elles sont si pratiques à manipuler. Le fait que soit sa propre dérivée implique également qu'elle est sa propre primitive. La praticité de cela est difficilement surestimable.

Bientôt, nous examinerons comment nous pouvons transformer en et ensuite la différencier. D'abord, nous dérivons la dérivée de . Cela peut être fait en utilisant une limite standard astucieuse et la définition de la dérivée.

Si tu te sens incertain sur les propriétés des fonctions exponentielles, c'est le moment de les revoir rapidement.

Alors allons-y. La dérivée de est dérivée comme suit :

Remarque que n'a pas de dedans. Ainsi, nous pouvons le sortir de la limite. Tu pourrais reconnaître la limite standard restante :

Pour conclure :

Alors, qu'est-ce que c'est que cette constante qui apparaît devant lorsque nous différencions ?

Enfin, le moment est venu de révéler sa véritable identité. Le vient du fait que nous pouvons écrire :

Maintenant, remarque que dans l'exposant, nous avons une fonction interne , où est une constante.

Ainsi, en utilisant la règle de la chaîne, la dérivée interne qui apparaît n'est que , et nous obtenons :

Voilà : , et :

Lors de l'étude de la règle de puissance, nous avons vu que :

En appliquant nos connaissances sur les primitives, nous voyons que pour , nous avons :

Cela fonctionne parfaitement bien pour toutes les puissances sauf une, à savoir , qui donnerait un dénominateur de valeur 0.

D'une part, cela a du sens que ce cas brise la forme générale, en se rappelant que la dérivée de toute constante est zéro, et que .

D'autre part, cela soulève une question intrigante. Quelle sera une primitive de ?

La réponse peut surprendre, mais en utilisant la différentiation implicite, nous pouvons prouver que c'est , le logarithme népérien de , que nous devons différencier pour obtenir .

Nous avons prouvé la dérivée de la fonction logarithmique de n'importe quelle base . Examinons maintenant ce qui se passe lorsque nous avons le nombre d'Euler comme base ().

Par conséquent, nous avons résolu le mystère de trouver la fonction dont la dérivée est :