Méthodes numériques

Parfois, utiliser les méthodes que nous avons vues pour différencier ou intégrer est ridiculement difficile, voire impossible.

Nous avons alors besoin de méthodes numériques. Ces méthodes utilisent un ensemble de données fini pour approximer une solution numérique à un problème. Les notes de cette section introduiront une sélection de méthodes numériques courantes. Alors attachez votre ceinture et profitez du voyage !

Lorsque nous utilisons une méthode numérique, nous commençons souvent par une valeur de départ, qui peut être une estimation éclairée. Ensuite, nous faisons des pas vers la solution. Plus nous avons besoin d'être proches de la valeur réelle, plus nous devons faire de pas. C'est à nous de choisir la proximité dont nous avons besoin : le prix à payer est l'utilisation de plus de puissance de calcul.

Étant donné une fonction , nous pouvons utiliser la méthode de Newton ou, comme on l'appelle aussi, la méthode de Newton-Raphson pour trouver ses racines. Elle nécessite que la fonction soit différentiable et utilise l'équation de la tangente pour trouver une racine.

Voici la méthode : nous commençons par deviner qu'il y a une racine proche de quelque valeur . Nous traçons la tangente à . Ensuite, nous glissons le long de la tangente jusqu'à l'axe des , appelant cette nouvelle valeur .

En remontant droit à la courbe de la fonction, nous répétons la procédure, traçant la tangente à . En glissant le long de cette tangente jusqu'à l'axe des , nous trouvons ce que nous appellerons .

Si nous continuons à répéter cette procédure, nous pouvons nous approcher arbitrairement de la racine. Regardez-le pour :

Notez que ici, quand nous posons , cela donne :

Ainsi, tant que nous choisissons un point de départ approprié, nous pouvons utiliser la méthode pour trouver une valeur numérique pour !

Nous dérivons la méthode plus formellement en utilisant l'équation de la ligne tangente.

Rappelons que la tangente à en est :

Glisser le long de la tangente est équivalent à insérer le point dans l'équation de la tangente. Comme nous connaissons , cela nous permet de déterminer . En réorganisant les termes, nous obtenons :

La formule suit le même modèle pour tous les points suivants. Voici la formule générale de la méthode de Newton :

La méthode ne fonctionnera pas si le point de départ ou un point entre le départ et la racine est un point critique. Comme la formule a la dérivée du point courant au dénominateur, cela signifierait diviser par zéro, ce qui est un grand non.

Nous pouvons également rencontrer des problèmes si la fonction a des asymptotes verticales : il n'y a aucun moyen de sauter par-dessus un tel écart en utilisant la méthode de Newton. En général, il est bon d'utiliser une estimation initiale aussi proche que possible de la racine que nous cherchons.

Si les écueils ci-dessus sont évités, tant que est continue près de la racine et que la limite de la série d'approximations existe, alors la méthode sera votre humble serviteur.

Les intégrales peuvent être vraiment complexes. Il existe quelques astuces pour calculer les intégrales, comme le changement de variable et la décomposition en fractions partielles, mais toutes ces méthodes peuvent impliquer des calculs laborieux. Pour calculer une intégrale comme :

tu pourrais bien avoir besoin de plusieurs feuilles de papier. Et tu n'obtiendras pas une belle expression. Au lieu de cela, tu auras un mélange de et . Beurk.

En faisant tes calculs, en tant qu'étudiant consciencieux que tu es, tu ne sais même pas si tu trouveras une solution. C'est assez déprimant. Surtout dans une situation d'examen. Certaines intégrales, comme :

ne peuvent pas être résolues avec les méthodes abordées dans ce cours.

Mais les intégrales sont super importantes ! Elles sont utilisées partout : en finance, biologie, physique, etc. Les intégrales font partie intégrante du monde moderne.

Nous devons être capables de calculer des intégrales complexes d'une manière ou d'une autre, même si des méthodes non conventionnelles sont autorisées. La méthode la plus basique pour calculer les intégrales est la méthode des trapèzes.

Regarde l'image ci-dessus. L'intégrale peut être approximée par la zone ombrée ,

Pour rendre notre approximation plus précise, utilisons le même raisonnement pour plusieurs intervalles. Puisque les points du milieu sont additionnés plusieurs fois, nous obtenons :

Ne trouves-tu pas que la méthode des trapèzes est un peu... basique ? Tu découpes l'intégrale en trapèzes et tu additionnes leur aire. C'est tout. C'est la manière la plus basique d'approximer une intégrale. N'y a-t-il pas une méthode plus amusante ? La méthode des trapèzes, c'est un peu comme des pâtes au pesto, sans fromage ni pignons de pin. Basique, non ?

La méthode des trapèzes fonctionne, mais elle converge lentement vers la valeur correcte. Tu dois diminuer la longueur des pas assez considérablement pour une amélioration notable de la précision. Cela signifie que tu auras besoin de plus d'évaluations de fonctions.

Si tu as une puissance de calcul limitée et que tu as besoin d'une précision de pointe, la méthode des trapèzes ne sera pas suffisante. Bien sûr, rien ne t'empêche de fixer la longueur des pas à . Mais tes petits-enfants seront morts avant que ton ordinateur ne termine. Ou ton ordinateur pourrait exploser ou quelque chose comme ça.

En tant que courtier en bourse, disons que tu aimerais calculer une intégrale horrible. L'intégrale donne la valeur attendue d'une action, donc il y a beaucoup en jeu. Au lieu d'utiliser la méthode des trapèzes, tu ferais mieux d'utiliser la méthode de Simpson.

L'idée ici est d'approximer la fonction avec un polynôme quadratique. Ensuite, l'intégrale du polynôme est l'intégrale originale et tu obtiens l'approximation

Maintenant, découpons l'axe des et utilisons la méthode de Simpson sur chaque petit morceau. Remarque que le point médian, est multiplié par . Lorsque nous additionnons tous les , les extrémités sont multipliées par , sauf pour les extrémités les plus externes. L'intégrale entière peut être approximée par la somme de chaque approximation. Formellement, nous obtenons :

Ci-dessus, nous avons supposé que n était pair, afin d'écrire notre somme de manière claire.

C'est une approximation encore plus précise. Maintenant, tu es prêt à partir et à trader des actions !