Continuité

Pour décrire de manière informelle mais intuitive la continuité, on peut penser à une fonction continue comme une fonction que l'on peut tracer sans lever le stylo.

Cela ne peint pas toute l'image, et nous devons aussi nous rappeler que toutes les figures que nous pouvons dessiner sans lever le stylo ne sont pas des fonctions. Néanmoins, ce critère peut nous aider à déterminer quels points rendent une fonction discontinue.

Cependant, pour mettre le concept de continuité dans le cadre rigoureux du calcul, nous devons énoncer une définition plus formelle :

Pour que le deuxième critère soit rempli, doit tendre vers la même valeur lorsque approche de par le dessus et par le dessous.

De plus, pour satisfaire les deux autres critères, ce nombre doit être la valeur de la fonction en , qui doit alors être définie.

Pour voir à quoi ressemble la continuité en pratique, examinons quelques exemples :

Regarde la fonction :

au point .

Comme la division est indéfinie pour 0 en tant que dénominateurs, n'est pas définie. De plus, considérant que :

tandis que :

Aucune limite n'existe de lorsque tend vers .

Par conséquent, aucun des trois critères n'est rempli, et nous concluons que est discontinue en . En passant, la fonction est continue pour toutes les autres valeurs de .

Examinons maintenant une fonction différente, en un point différent :

Clairement, est définie en et donc le premier critère est satisfait. Cependant, ici aussi les limites de la fonction sont différentes lorsque approche de par le dessus et par le dessous.

Par conséquent,

n'existe pas, ce qui brise le deuxième des critères requis et rend discontinue en .

Il est temps de regarder une fonction qui est continue en tous points de :

Nous allons la considérer au point , où la continuité pourrait ne pas être évidente.

Premièrement, , donc la fonction est définie pour ce point.

Deuxièmement :

nous donne l'existence de la limite au point.

Enfin, la limite n'existe pas seulement au point, mais se trouve également être la même que la valeur de la fonction :

Avec les trois critères satisfaits, nous concluons que est continue en .

Une fonction est continue en un point si la limite lorsque tend vers coïncide avec la valeur de la fonction, c'est-à-dire :

Supposons que la fonction soit continue en . Ok, et alors ?

La plupart des théorèmes sur les fonctions continues exigent que la fonction soit continue sur un intervalle.

Le fait que soit continue en n'est pas si utile en soi. Cependant, cela fait partie de la définition de la continuité sur un intervalle.

La fonction est continue, dans son ensemble, si elle est continue en tous les points pour lesquels elle est définie.

Maintenant, nous abordons la question de savoir quelles fonctions sont continues.

Les fonctions de base sont toutes continues. Elles incluent :

En règle générale, tout ce que tu fais avec les fonctions ci-dessus donnera une fonction continue.

Tu peux essayer autant que tu veux - additionner, diviser, tordre et plier - tu ne pourras pas assembler une fonction discontinue.

Note qu'il y a une exception à la règle ci-dessus, et c'est chaque fois que nous avons une fonction qui est nulle quelque part sur l'axe des car cette fonction provoquera une discontinuité à ce .

Il s'avère que :

sont toutes continues.

En utilisant ces règles, tu peux dire qu'une fonction monstrueuse comme

est continue.

Les fonctions continues sont pratiques. De nombreux théorèmes utiles pour manipuler les fonctions exigent que la fonction soit continue, sinon cela peut donner des résultats assez étranges.

Par conséquent, si une fonction n'est pas définie en un point, nous souhaitons parfois la modifier pour qu'elle devienne continue. La fonction modifiée n'est pas la même, mais à des fins pratiques, cela peut ne pas avoir d'importance.

Comme exemple, revisitons un ami :

Cette fonction est continue partout, sauf en .

Nous pouvons étendre la définition de la fonction pour être :

Alors, est continue, et nous sommes libres d'utiliser par exemple le théorème de la valeur intermédiaire et le théorème du max-min lorsque nous traitons la fonction !

Regarde ce graphique de fonction :

Disons que la fonction est seulement définie sur l'intervalle fermé .

En regardant le graphique, nous concluons que la fonction a une valeur maximale de et une valeur minimale de .

Autrement dit, il existe une valeur maximale et une valeur minimale.

Les prérequis sont importants. Ce ne sont pas juste des détails techniques qu'un mathématicien a inventés pour embêter les étudiants.

D'abord, l'intervalle doit être fermé. Prends la fonction , définie sur l'intervalle ouvert .

Il n'y a pas de maximum, car nous pouvons toujours faire un tout petit pas vers la droite pour augmenter la valeur de la fonction. De même, il n'y a pas de minimum.

Ensuite, la fonction doit être continue. Dis bonjour à notre vieil ami

Même si nous considérons un intervalle fermé, comme , il n'y a ni maximum, ni minimum.

Le graphique de la fonction devient un peu fou autour de , puisque

Dans ce cours, nous traitons principalement de fonctions qui sont continues sur presque tout leur domaine (c'est-à-dire leurs valeurs d'entrée autorisées).

Aujourd'hui, nous allons examiner un théorème très astucieux qui ne peut être utilisé que pour les fonctions continues. Il s'appelle le théorème de la valeur intermédiaire et, formulé de manière informelle, il dit :

Si est inférieur à , et est supérieur à , alors quelque part dans l'intervalle .

Essayer de rejoindre à d'un seul trait de stylo dans le graphique ci-dessous pourrait te convaincre de ce fait.

Disons que nous avons une fonction comme celle-ci :

Où pouvons-nous trouver ses racines ? Ou, dit autrement, où son graphique coupe-t-il l'axe des ?

Avec l'aide du théorème de la valeur intermédiaire, nous pouvons répondre à cette question. Utilise simplement .

Peut-être as-tu entendu dire qu'il n'existe pas de méthode analytique efficace pour résoudre des polynômes de degré supérieur. Dès qu'un ou quelque chose de pire apparaît dans un polynôme, alors nous devons utiliser notre boîte à outils spéciale de trucs. Ces astuces ne fonctionnent que dans certains cas.

Cependant, nous pouvons toujours résoudre une équation polynomiale numériquement. Une solution numérique est une approximation, souvent trouvée en faisant des pas progressifs vers une réponse assez bonne.

Dans ce cas, je sais que pour , et que pour , .

Comme la fonction est continue, nous savons alors que le graphique doit passer de à dans l'intervalle .

Donc, il doit y avoir au moins une racine dans cet intervalle !

Trouver une racine peut se faire en coupant l'intervalle en deux et, chaque fois que nous le coupons en deux, vérifier quel intervalle a une valeur en dessous de zéro et lequel en a au-dessus. Plutôt pratique, non ?

Enfin, nous sommes prêts pour le théorème :

Note que c'est même plus fort que ce que nous avons dit jusqu'à présent : le théorème promet que toutes les valeurs entre et seront atteintes.