Sums de Riemann et approximation intégrale

Donc, tu as un morceau de plastique drôle, qui ressemble un peu à une parabole.

Maintenant, tu veux savoir combien il pèse. Tout à coup, une voix venue d'en haut te dit que ce bout de plastique pèse grammes par cm. Alors tout se résume à calculer l'aire du plastique, en fait.

D'abord, tu trouveras une fonction qui décrit la forme du morceau de plastique. Maintenant, imagine prendre une épée et découper le morceau de plastique en petits rectangles, comme ceci :

Ensuite, tu peux approximer l'aire en additionnant les aires des rectangles. Et cela, mes amis, est une somme de Riemann.

Comme tu es un peu maladroit, chaque rectangle n'est pas nécessairement aussi large. Mais tu peux toujours approximer l'aire avec tous ces rectangles. Quant à la hauteur, tu peux choisir n'importe quelle valeur de entre les bords du rectangle et utiliser . Je veux dire, la largeur de chaque rectangle est déjà assez petite, alors qui se soucie de quel tu choisis ? Formellement, tu approximerais l'aire avec une expression comme celle-ci :

où est entre et , et est la largeur. Ici, et sont le plus petit et le plus grand sur l'intervalle que nous approximons.

Au fur et à mesure que la largeur de tous les rectangles diminue, ton approximation devient de mieux en mieux. En prenant la limite lorsque la largeur tend vers - tu obtiens une intégrale. C'est, en gros, la définition d'une intégrale. Dans ce cas, ton intégrale s'avère être :

Le poids du morceau de plastique est donc :

et voilà, c'est terminé !

Ta mère te conduit à l'école. Disons que tu aimerais connaître la distance de freinage lorsque la voiture s'arrête devant un feu rouge. Les questions sur les distances de freinage reviennent tout le temps dans les tests de permis de conduire, donc cela pourrait effectivement avoir une certaine importance pratique.

Tu ne veux pas te perdre dans les règles de la physique, en essayant de construire une formule pour la vitesse. À la place, tu utilises une approche pratique.

Voici l'idée. Jette un œil au compteur de vitesse toutes les secondes. Comme tu es surhumain, tu es capable de te souvenir de toutes ces vitesses. Pour approximer la distance parcourue en ces secondes, multiplie la vitesse par le temps. Puis additionne toutes ces distances.

Mais tu peux approximer la distance de deux manières, comme le montrent les images.

Cette approximation, faite par les barres au-dessus du graphique, s'appelle une somme supérieure. Pour calculer la distance sur le premier intervalle, tu utilises la vitesse supérieure. Les mathématiciens disent que la plus petite somme supérieure est appelée l'infimum de la somme supérieure.

Voici la somme inférieure. Pour calculer la distance sur le premier intervalle, tu utilises la vitesse inférieure. Cela s'appelle le supremum de la somme inférieure, signifiant la plus grande somme inférieure.

La distance réelle est quelque part entre la somme supérieure et la somme inférieure.

Après avoir bu une tasse de café, tu es plus alerte. Maintenant, tu peux te rappeler de la vitesse et effectuer toutes les multiplications "vitesse fois temps" pour des intervalles de temps plus courts, toutes les secondes. Puis la différence entre la somme supérieure et la somme inférieure diminue. Si tu ne peux pas avoir l'infimum d'une somme supérieure égal au supremum d'une somme inférieure, la fonction n'est pas intégrable.

L'idée des sommes supérieures et inférieures s'étend aux graphiques qui assument des valeurs positives et négatives. Si la fonction correspond à la vitesse, et la valeur de est négative, cela signifie que tu recules.

Voici la somme inférieure :

Et de manière analogue, voici la somme supérieure :

Si est une fonction décroissante, alors nous avons :

Disons que nous voulons approximer l'aire sous la courbe pour une telle fonction entre deux entiers et . Nous pourrions diviser l'intervalle en sous-intervalles de largeur , puis construire une somme supérieure sur l'intervalle en considérant toujours le point gauche de chaque sous-intervalle, et une somme inférieure en prenant les points droits.

Comme le point droit d'un intervalle est le point gauche de l'intervalle suivant, les deux seules barres qui ne seront pas incluses dans les deux sommes sont alors la première dans la somme supérieure et la dernière dans la somme inférieure.

Maintenant, l'aire réelle, obtenue en intégrant , peut être encadrée par les deux sommes selon cette inégalité :

Bien que cela ne soit pas immédiatement évident, cela implique ce qui suit :

En d'autres termes, nous pouvons encadrer une somme de termes décroissants entre deux intégrales. Ce concept est utilisé pour déterminer la convergence d'une série dans le test d'intégrale de Cauchy.

Prouver que la série ci-dessous diverge :

Pour savoir si la série diverge, nous encadrons la série entre deux intégrales :

Ensuite, nous étudions notre intégrale :

Nous trouvons alors que :

Par conséquent, la fonction diverge.

Montrez que la série ci-dessous converge.

Nous encadrons la fonction avec des intégrales :

Ensuite, nous évaluons les intégrales :

En faisant cela, nous trouvons ce qui suit :

ce qui prouve que la série doit converger.

Comme nous l'avons vu dans les deux exemples, la convergence ou la divergence des intégrales détermine si les séries convergent ou divergent.