Dérivées

Alors que tu es assis dans un avion, tu es frappé par la rapidité des avions, n'est-ce pas ? En effet, le steward dit que tu te déplaces à quelque chose comme km/h.

Mais évidemment, l'avion n'avance pas à une vitesse constante. Si un fort coup de vent se produit, tu pourrais te déplacer à km/h.

La dérivée, notée par ce drôle de symbole , nous permet de trouver la vitesse à un moment donné. Donc, si est ta position en fonction du temps, alors est ta vitesse.

Et comme tu te déplaces si rapidement, ta position change beaucoup dans un petit intervalle de temps. Cela signifie que est énorme.

La manière dont nous procédons pour trouver la dérivée ressemble en fait à la manière dont nous calculons la vitesse.

Pour calculer la vitesse, nous allons concentrer notre attention sur un petit intervalle de temps . La vitesse est alors simplement la distance divisée par le temps,

Et la dérivée ?

Tu peux en fait penser à la dérivée comme la valeur de la fonction de la vitesse, la rapidité à laquelle la valeur de la fonction change.

Imagine-toi debout sur l'axe des , puis faisant un petit pas à droite. Nous appelons ce pas . Cela provoque un changement dans la valeur de la fonction, qui devient . Le changement dans la valeur de la fonction est :

Mais il ne serait pas logique de mesurer seulement la valeur , car elle dépend de la taille de . Pour tenir compte de la taille de , divisons par .

Si est petit, l'est aussi, mais c'est compensé par la division par .

Cette chose décrit le taux de changement dans un tout petit intervalle, de à . C'est notre

Cependant, nous voulons calculer le taux de changement en un point particulier, et non dans un intervalle.

À condition que soit définie sur un intervalle autour de , la dérivée de au point est

et est écrite .

Un mot d'avertissement. Souviens-toi que est un nombre normal, pas . C'est pourquoi le calcul ci-dessus fonctionne.

Dériver une fonction en un point, c'est trouver la dérivée, ou la pente, de la fonction en ce point.

Ce que nous aimerions faire, c'est définir une fonction qui associe à chaque point du domaine de sa dérivée. Nous appelons la fonction dérivée de .

Ceci n'est pas toujours possible, car une fonction peut ne pas avoir de pente en chaque point. Quand cela se produit, la dérivée n'existe pas, et nous disons que la fonction n'est pas différentiable.

Jette un œil à ces deux courbes :

1.

2.

Elles partagent leur forme générale, mais alors que la première est différentiable en haut, la seconde ne l'est pas.

Rappelle-toi la définition de la dérivée :

Pour que cette limite, et donc la dérivée, existe en un point , la limite de la fonction dérivée doit être la même lorsque approche de par le haut et par le bas :

Maintenant que nous comprenons ce que signifie pour une fonction d'être différentiable en un point, examinons ce qui rend une fonction différentiable en général :

Pour approfondir notre compréhension de la différentiabilité, examinons quelques exemples de fonctions à valeurs réelles :

D'abord, regarde :

Quel que soit le point que nous regardons, nous pouvons trouver la dérivée de la fonction, donc c'est un exemple de fonction différentiable.

Comme exemple de fonction non différentiable, regarde celle-ci :

La fonction peut également être définie pièce par pièce comme :

Si nous prenons la limite de lorsque s'approche de par le haut, nous obtenons , la pente de la ligne droite.

De même, en prenant la limite de lorsque s'approche de par le bas, nous obtenons , la pente de la ligne gauche.

Alors :

nous concluons que la dérivée n'existe pas en . Ce seul point suffit à faire de une fonction non différentiable.

Pour conclure, la différentiabilité est liée à la continuité de telle manière que si une fonction n'est pas continue sur un intervalle, elle ne sera pas différentiable sur cet intervalle.

L'inverse n'est cependant pas toujours vrai. Comme nous l'avons vu dans l'exemple de , une fonction peut être continue sur tout son domaine et pourtant non différentiable.

Si une fonction est différentiable, sa dérivée sera une autre fonction . Et qui dit que nous ne pouvons pas prendre la dérivée de ?

Tant que est également différentiable, nous pouvons prendre la dérivée pour produire , connue sous le nom de seconde dérivée de .

Si nous laissons être la position d'un avion en fonction du temps, sa dérivée sera la vitesse de l'avion à tout moment.

Maintenant, la dérivée de , qui est la dérivée de la fonction vitesse et la seconde dérivée de la fonction position, produit une fonction de l'accélération de l'avion.

La dérivée peut être trouvée pour toute fonction différentiable, et donc il n'y a pas de limite au nombre de dérivées que nous pouvons prendre tant que la propriété de différentiabilité persiste.

Il y a cependant une limite au nombre de symboles prime que nous mettons après le , si est la fonction que nous différencions.

La troisième dérivée est généralement notée mais pour toutes les dérivées d'ordre supérieur, nous commençons à utiliser le numéro d'ordre, mis entre parenthèses.

Ainsi, la quatrième dérivée de devient , la cinquième sera , et ainsi de suite.

Disons que tu veux faire un calcul mental de . Assez difficile, hein ?

Cependant, en utilisant le calcul, nous pouvons trouver une approximation raisonnable.

Prends un moment pour penser au graphique de .

Nous savons que . Ensuite, nous faisons un petit pas, , dans la direction . Cela entraîne un changement dans la direction .

Pour des valeurs de proches de , nous pourrions approximer en traçant une ligne droite à travers le point , qui est le point , avec la même pente que .

Ce type de ligne, qui touche juste le graphe de la fonction en un point donné, est appelé une tangente.

Comment pouvons-nous trouver la ligne tangente ?

La recette générale pour une ligne est

où est la pente et est une constante.

Si la pente de la ligne doit s'aligner avec la pente du graphe, doit être égal à la dérivée de en .

Calculons . La dérivée de est , et . Cela signifie que .

De plus, nous voulons que notre ligne touche au point . En insérant et dans notre recette pour une ligne droite, nous obtenons :

Cela signifie que .

Étant donné que est proche de . Évaluer en donnera une bonne estimation de . Ainsi :

Ma calculatrice dit que , donc nous avons fait assez bien.

Ce truc est connu sous le nom d'approximation linéaire.

Lorsque nous parlons de la dérivée, nous mentionnons constamment de petits changements. Lorsque change un tout petit peu, que se passe-t-il pour ?

Aussi flou que cela puisse paraître, il existe en fait une notation mathématique pour décrire les changements infinitésimaux d'une quantité. Nous les appelons différentiels.

La définition rigoureuse est enfouie sous un grand tas de théorie bien au-delà de notre portée. Mais, heureusement, la définition informelle est presque toujours suffisante.

Le différentiel d'une variable est noté , et il peut être défini de manière informelle comme suit :

est un petit changement de , encore plus petit que n'importe quel nombre réel.

La principale préoccupation de cette définition est que les nombres réels peuvent être arbitrairement petits, ce qui rend douteuse l'existence ou non des différentiels. Pourtant, il s'avère extrêmement utile de les accepter comme un tout petit changement.

De manière analogue, si notre variable est le temps, noté , alors le différentiel serait . Cela se réfère à un très petit intervalle de temps. Nous pouvons également l'utiliser pour des fonctions : étant donnée une fonction , le différentiel correspondant serait .

Si confronté à une équation contenant des différentiels, on peut traiter le différentiel comme une variable ordinaire. Par exemple, nous pouvons ajouter, multiplier et diviser avec des différentiels.

Jusqu'à présent, étant donné une fonction , nous avons fait référence à sa dérivée comme . La notation de Leibniz introduit une nouvelle façon d'écrire les dérivées.

Soit . Alors, est le petit changement de , alors que change avec une petite quantité .

Écrit avec la notation de Leibniz, la dérivée de est :

Comme avec la définition de la dérivée utilisant les limites, nous ne cherchons pas à diviser par , seulement à les comparer.

Note que c'est juste une nouvelle façon d'écrire. Donc :

Mais pourquoi le voulons-nous ?

Eh bien, la notation de Leibniz permet de séparer le du . Cela peut sembler douteux, mais il s'avérera incroyablement utile pour résoudre certains types d'équations.