Dérivées implicites

Parfois, tu seras confronté à des équations qui, peu importe comment tu les manipules, il n'est pas possible de démêler le désordre pour obtenir la forme . Nous les appelons des fonctions implicites.

Une fonction implicite est en fait une fonction de deux variables, et , qui peut être écrite comme :

Pour l'instant, il n'est pas nécessaire de s'attarder sur ce qu'est une fonction de deux variables. Ce que nous voulons faire, c'est différentier.

Revisitions le cercle de l'introduction à ce sujet. La description mathématique du cercle unité est :

Pour prendre la dérivée de cela, nous essayons de l'écrire comme une fonction de . En déplaçant le de l'autre côté et en prenant la racine carrée, nous obtenons ce résultat :

Mis à part le signe , cela semble bon. Il semble que nous obtiendrions au moins deux dérivées pour la même entrée . La raison en est que l'équation d'un cercle n'est pas une fonction en une variable.

Quel dommage. Mais si nous ne pouvons pas aller directement à la solution, peut-être pouvons-nous contourner le problème ?

Bienvenue sur la scène : la dérivée implicite !

L'astuce que nous utiliserons repose sur la règle de la chaîne. Soit . Notez que nous ne savons pas comment dépend de , seulement qu'ils sont liés d'une manière ou d'une autre.

Nous trouvons la dérivée implicite comme suit :

La règle de la chaîne entre en jeu lors de la prise de la dérivée de .

Regardez l'équation finale. La dérivée de dépend à la fois de et de . Ainsi, pour connaître la pente du cercle, nous devons fournir une paire de coordonnées .

Un autre exemple d'équation qui pose considérablement de problèmes lorsqu'on essaie de la différentier est :

Ceci s'appelle une hyperbole, et son graphique ressemble à ceci :

Lorsqu'on tente de l'écrire sous la forme , cela ne donne pas un beau résultat :

Nous procédons plutôt de manière implicite. En appliquant la même méthode que pour le cercle, nous obtenons :

Lorsque nous avons discuté des règles de dérivation, nous avons exploré la règle de dérivation de polynômes :

À ce moment-là, nous n'avons parlé de cette règle que pour les entiers . Avec la dérivée implicite à l'esprit, nous montrerons qu'elle est valable pour , étant donné la règle de dérivation de polynômes avec des exposants entiers.

Soit , avec . Cela donne, . En prenant la dérivée de cette équation, nous obtenons :

Nous le résumons en tant que théorème.

La dérivée implicite est essentielle pour pouvoir résoudre un type d'équations appelées équations différentielles. Elles décrivent comment une quantité se rapporte à son taux de changement, et nous les aborderons plus tard.