Polynômes de Taylor

Parfois, nous souhaitons réécrire une fonction sous forme de polynôme. Étonnamment, nous pouvons le faire de telle manière que la fonction reste exactement la même, du moins à proximité d'un point.

Cela s'avère utile pour calculer certaines limites, résoudre des équations complexes, etc.

Comme il est si facile d'intégrer et de différencier les polynômes, cette astuce peut grandement nous faciliter la vie.

Essayons avec . Nous aimerions trouver un polynôme pour autour de , pour simplifier un peu. est une fonction impaire, donc nous nous limitons aux polynômes impairs, en commençant par .

C'est en fait pas si mal autour de zéro, si nous sommes intéressés uniquement par une approximation de la valeur. Cependant, ajouter un au polynôme améliore l'approximation de la convexité :

Nous pouvons continuer à ajouter des termes et rendre le polynôme de plus en plus précis.

C'est l'essence des polynômes de Maclaurin. Au fur et à mesure que nous ajoutons de plus en plus de termes, le polynôme finira par correspondre à la fonction.

Parfois, la correspondance est limitée à un intervalle, mais pour certaines fonctions, nous obtenons une correspondance parfaite sur tout le domaine.

Le polynôme de Maclaurin est un cas particulier des polynômes de Taylor : alors que les polynômes de Taylor décrivent la fonction à partir des environs de n'importe quel point , le polynôme de Maclaurin décrit la fonction à partir des environs de 0. Nous examinerons les polynômes de Taylor dans la section suivante.

Alors, comment trouvons-nous ce polynôme magique ?

Eh bien, le premier terme utilise la valeur de la fonction en pour approximer la valeur de la fonction près de . Le deuxième terme approxime la pente, la dérivée, en utilisant la dérivée en . Le troisième approxime la convexité, la deuxième dérivée. Et ainsi de suite.

Tout cela suit une formule :

Ceci est une série infinie. Nous l'appelons la série de Maclaurin de , et elle est exactement égale à .
Si nous écrivons seulement les premiers termes, alors c'est appelé le polynôme de Maclaurin de degré , et c'est une approximation de la fonction.

Voici le polynôme de Maclaurin de degré pour :

Ce ne sont que deux termes dans l'exemple, mais, la valeur de la fonction et la seconde dérivée en sont , donc elles sont invisibles. Elles comptent quand même !

Lorsque nous calculons avec des polynômes de Maclaurin, nous choisissons le degré du polynôme en fonction de son application.

Voici une façon compacte d'écrire le polynôme de Maclaurin de degré pour :

Si tu n'es pas familier avec, la lettre grecque funky est le symbole de somme, ajoutant ensemble les termes à droite pour tous les entre et .

En laissant aller jusqu'à l'infini, nous obtenons la série de Maclaurin pour .

Bien qu'il ne soit généralement pas difficile de calculer des polynômes de Maclaurin, c'est un art qui prend du temps dans les degrés supérieurs du polynôme.

Ainsi, ces séries de Maclaurin élégantes et courantes valent la peine d'être retenues :

L'approximation de la valeur d'une fonction à l'aide de polynômes de Maclaurin se détériore au fur et à mesure que nous nous éloignons de .

Dans certains cas, même la série de Maclaurin infinie ne tend pas vers la valeur de la fonction, si nous cherchons des valeurs de la fonction trop éloignées de . Par exemple, la série de Maclaurin pour ne tend pas vers la valeur de la fonction si ne se trouve pas à l'intérieur de .

Mais ne désespérez pas : ce que les polynômes de Maclaurin font autour de zéro, les polynômes de Taylor peuvent le faire partout.

Supposons que nous voulons approximer une fonction autour d'un certain point éloigné de zéro. Ensuite, nous aimerions approximer la fonction en utilisant des valeurs plus proches de . C'est ce que font les polynômes de Taylor.

La série de Taylor autour d'un point pour se présente ainsi :

Remarquez que si nous insérons , nous retrouvons le bon vieux Maclaurin. Ainsi, les séries de Maclaurin ne sont qu'un cas particulier de Taylor !

En coupant la série après le terme de degré , de manière analogue au cas de Maclaurin, nous obtenons un polynôme de Taylor de degré .

Ok donc, les séries de Taylor ne sont pas aussi élégantes que les séries de Maclaurin. Mais, regardez : à mesure que nous nous approchons de , la valeur de la fonction se rapproche de . Et, près de , les termes deviennent tous assez petits, assurant que la valeur de la fonction domine sur les dérivées. Cela semble assez raisonnable, n'est-ce pas ?

Avec la notation sigma, le polynôme de Taylor de degré est :

Comme avec Maclaurin, en remplaçant par , nous obtenons la série de Taylor.

Trouvons le polynôme de Taylor de degré pour autour de .

Comme la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même, le calcul des dérivées est très facile. Donc, autour de :

Certains types de programmes informatiques utilisent les séries de Taylor pour résoudre des équations. Lorsque nous n'avons pas besoin de la réponse exacte, c'est le meilleur choix pour des calculs rapides.

Soyons francs. Faire des expansions de Taylor, c'est un peu fastidieux. Il s'agit juste d'utiliser la dérivation encore et encore. Puis tu utilises les dérivées dans la formule de Taylor, et voilà, c'est ton polynôme de Taylor.

Par exemple, si on te demande de trouver le polynôme de Taylor de de degré sept, tu devrais dériver la fonction sept fois. Gardez à l'esprit que ceci est une fonction gentille, dont les dérivées ne se compliquent pas à mesure que tu avances. Si, cependant, t'avais affaire à , les choses se compliqueraient rapidement en complexité.

À moins que la fonction ne soit exceptionnellement gentille, nous ne nous embêterons pas à calculer une expansion de Taylor avec un grand nombre de termes. Nous devons la couper court quelque part. Mais où ?

Dans la plupart des applications, cela n'a pas d'importance si notre approximation est infiniment précise. Un ingénieur a juste besoin de connaître une limite supérieure d'erreur pour l'approximation.

S'il pense que sa construction s'effondrera si les forces externes dépassent N, il peut dormir tranquille s'il sait que la force est inférieure à N. Quant au nombre précis, qui s'en soucie ?

Disons que tu as trouvé le polynôme de Taylor de degré pour la fonction autour de , qui est . Au fait, puisque c'est un polynôme de Taylor autour de , c'est également un polynôme de Maclaurin.

Ensuite, tu approximes en calculant . Mais rappeles-toi, le polynôme de Taylor n'est qu'une approximation.

Pour trouver le reste, tu calculerias le troisième terme du polynôme de Taylor, évalué en un certain point . Ici, est un nombre entre et , le point auquel nous évaluons . La troisième dérivée est , donc l'erreur s'avère être

.

Formulons cela plus généralement. Pour trouver le reste intégral du polynôme de degré autour de , calculez le terme de degré . Au lieu d'évaluer la dérivée en , évaluez-la en . En symboles, le reste est :

où se situe entre et .

En informatique, tu pourrais rencontrer le concept de grand O. Deux programmes peuvent retourner le même résultat. Pourtant, le premier programme pourrait être lent par rapport au second, prenant beaucoup plus de temps.

Afin de comparer différents algorithmes, les informaticiens essaient d'estimer combien de temps un algorithme prend pour se terminer. Un bon algorithme a un temps d'exécution court, et le temps d'exécution n'augmente pas beaucoup lorsque tu donnes plus de données d'entrée à l'algorithme.

Quand les informaticiens disent qu'un algorithme a un temps d'exécution , où est la taille de l'entrée, ils veulent dire que le temps d'exécution augmente comme la fonction , avec une constante, lorsque devient vraiment grand. Si le temps d'exécution est , il augmente comme . Clairement, nous préférerions le premier cas. Le décrit essentiellement le terme dominant à mesure que l'entrée grandit.

Les mathématiciens ont aussi cette notion de grand O. En mathématiques, le terme est un substitut pour une fonction qui se comporte comme . Lors de l'expansion de Taylor, nous utiliserons des termes comme , etc. L'idée du grand O est intimidante au début, mais tous ces O sont très amicaux. Le grand O est comme un tapis qui cache les termes restants, pour que ton expression ne semble pas trop compliquée.

Disons que tu es trop paresseux pour développer au-delà du terme . Tu pourrais tout le reste sous le tapis grand O, en écrivant :

Ou, si tu ne te donnes même pas la peine de développer jusqu'au terme , tu obtiendrais :

Contrairement au grand O en informatique, le terme dominant ici sera celui avec l'exposant le plus petit.

Comme est petit, la fonction est plus grande que . Donc, si tu avais une fonction comme , le serait dominant. En général, le terme domine les termes d'ordre supérieur. Donc, si une fonction est , où , elle est aussi .