Le théorème des acroissements finis
Le théorème des acroissements finis stipule que pour une courbe s'étendant d'un point à un autre, il y aura au moins un autre point sur la courbe où sa tangente est parallèle à la ligne droite reliant les points extrêmes.
Comme interprétation visuelle, imaginez une randonneuse montant une montagne.
À au moins un point en cours de route, la pente du sol sera parallèle au câble tendu d'une tyrolienne allant du bas de la montagne au sommet.
La droite reliant deux points sur un graphique s'appelle une sécante, et la pente de la sécante est donnée par le rapport entre la fonction entre les points. Comme nous le savons maintenant, la pente de la tangente d'une fonction est donnée par la dérivée de la fonction.
Par conséquent, nous pouvons définir le théorème des acroissements finis de manière plus formelle :
Soit une fonction à valeurs réelles. Si est continue sur et différentiable sur , alors il existe un point dans tel que :
Sans les conditions de continuité et de différentiabilité, nous ne pouvons pas être sûrs que le point existera. Pour comprendre pourquoi, revenons à la randonneuse.
La surface de la montagne n'est pas aussi lisse que nous l'avions imaginé, mais contient plutôt uniquement des arêtes vives.
Cela violerait le critère d'être une fonction différentiable. Bien qu'il puisse potentiellement encore y avoir un point avec les propriétés de , nous ne pouvons pas conclure qu'il doit exister. La même incertitude survient si la fonction n'est pas continue sur l'intervalle.
Qu'est-ce que le théorème de Rolle ?
Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème des acroissements finis pour lequel la valeur de la fonction est la même pour les deux points extrêmes.
Soit une fonction à valeurs réelles. Si est continue sur et différentiable sur avec , alors il existe un point dans tel que
