Fonctions inverses

Dans cette note, nous allons introduire un tas de termes importants. Alors attaches ta ceinture, et c'est parti !

Une fonction n'est pas juste une expression algébrique, comme . Par exemple, pour tous les nombres réels n'est pas la même chose que pour . Les règles ne sont pas identiques. Nous avons besoin d'une nouvelle terminologie pour décrire ce qui distingue de .

Les valeurs que nous pouvons fournir à la fonction constituent le domaine. Dans l'exemple ci-dessus, et ont pour domaines et . Ainsi, elles ne sont pas identiques.

Lorsque nous alimentons la fonction avec les valeurs du domaine, elle nous donne el image. Par exemple, a tous les nombres positifs comme image, et a pour image . Les valeurs de l'image font partie d'un plus grand "ensemble", le codomaine. En calcul, nous supposons généralement que le codomaine se compose de tous les nombres réels, si ce n'est pas le cas, nous le déclarons généralement comme une propriété de la fonction.

Commençons par l'idée d'injectivité. Si une fonction retourne deux sorties différentes, alors nous devons lui avoir fourni deux entrées différentes. Une fonction est injective si deux éléments distincts dans le domaine sont associés à deux éléments distincts dans le codomaine.

Pour vérifier si une fonction est injective, commencez par tracer sa courbe. Si tu peux tracer une ligne horizontale qui intersecte le graphique en plus d'un point, la fonction n'est pas injective.

Les mathématiciens parlent aussi de surjectivité. Si, lorsque tu alimentes la fonction avec toutes les valeurs du domaine, la fonction retourne toutes les valeurs du codomaine, la fonction est surjective. Donc une fonction est surjective si son image est égale a son codomaine.

Maintenant, pour la dernière (celle-ci n'est pas trop difficile, alors tenez bon !). Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Sur l'image ci-dessous, chaque point dans le blob de gauche est associé à un autre point dans le blob de droite.

Voici un exemple qui fait réfléchir.

La fonction n'est ni injective, ni surjective. ne peut assumer que des valeurs positives, n'est-ce pas ? Aussi, puisque , elle ne peut pas être injective non plus.

En fixant le codomaine à toutes les valeurs positives, devient surjective. Cependant, elle n'est toujours pas injective.

Si nous restreignons le domaine à toutes les valeurs positives, devient injective. Si , chaque valeur se voit attribuer une valeur unique, .

Enfin, si ne prend que des entrées positives et que son codomaine comprend toutes les valeurs positives, elle est bijective.

Certaines quantités ne cessent jamais d'augmenter ou de diminuer. Bien qu'il semble parfois que le temps passe plus lentement que d'habitude, ou même s'arrête, nous savons qu'en réalité ce n'est pas le cas.

Au lieu de cela, il continue de s'écouler, augmentant constamment au même rythme. Du moins dans la façon dont les humains interagissent avec le temps.

Une fonction monotone est celle qui ne rompt jamais la tendance à la hausse ou à la baisse. Nous permettons généralement qu'elle reste constante, mais si ce n'est pas le cas, nous disons qu'elle est strictement monotone.

Pour les fonctions différentiables, la monotonie peut être vue en termes de dérivées non-négatives ou non-positives.

Notez que les deux définitions permettent l'égalité . Par conséquent, la fonction constante est à la fois croissante monotoniquement et décroissante monotoniquement.

Un exemple de fonction strictement croissante monotoniquement est la fonction exponentielle:

Une propriété commune à toutes les fonctions strictement monotones est qu'elles sont injectives.

Une fonction peut être envisagée comme une boîte noire. On lui donne une entrée, et elle produit une autre valeur, unique. Parfois, nous aimerions savoir quelle valeur nous avons donnée à la fonction.

Tu veux devenir riche, pour pouvoir conduire une Cadillac et aller à Bali deux fois par an.

Ainsi, tu crées une fonction pour tus économies totales pendant une année. Elle prend tus économies mensuelles en entrée, et donne le total global . De cette manière, tu peux voir l'effet des intérêts composés.

Maintenant, si tu veux que tus économies totales atteignent dollars à la fin de l'année, tu dois calculer combien économiser chaque mois. Cela implique la construction d'une fonction inverse. Connaître un peu de mathématiques est utile !

La fonction inverse de , notée , prend la sortie de et produit la valeur originale que nous avons donnée à . Elle défait, en quelque sorte, l'effet de la fonction .

Cependant, il y a quelques mises en garde.

Considérez . Deux valeurs de peuvent donner le même résultat. Donc si nous donnons à , elle produit . Ensuite, nous demandons à notre fonction inverse de retourner la valeur originale de . Mais la fonction inverse ne sait pas si elle doit retourner ou , car égale également . La fonction inverse ne peut pas retourner deux valeurs ou plus - sinon, ce ne serait pas une fonction !

En pratique, cela signifie que la fonction doit être bijective, ce qui signifie que nous avons ce genre de situation :

Pour tracer la courbe d'une fonction inverse, tracez la ligne . Ensuite, dessinez la fonction inverse, comme ceci :

En général, et sont symétriques par rapport à la ligne .

Essayons de tracer la courbe de la fonction inverse de . D'abord, nous coupons le graphe à et . Ensuite, nous obtenons une fonction bijective, qui a une inverse. En utilisant la même technique que ci-dessus, tu obtiendrais quelque chose comme ceci :