Équations différentielles linéaires d'ordre deux
Qu'est-ce que c'est ?
Les équations différentielles sont des équations qui relient une quantité à ses dérivées. Nous appellerons souvent la variable , car de nombreuses applications se situent dans le domaine des systèmes dépendants du temps.
Une équation différentielle linéaire d'ordre deux a la forme générique :
Les équations différentielles peuvent par exemple être utilisées pour calculer quand tu dois déployer ton parachute pour éviter de frapper le sol très fort.
En appelant ta position verticale , serait ta vitesse et ton accélération.
Étant donné certaines données comme les forces qui affectent ta chute, à quelle hauteur du sol tu as sauté et combien de temps le parachute a besoin pour se déployer, résoudre l'équation différentielle pour le parachute peut t'indiquer à quelle hauteur tu seras à un certain moment.
Composants et terminologie
Décortiquons l'équation et démêlons un peu la terminologie avant de partir à la chasse aux solutions.
Les coefficients et seront toujours constants dans ce cours.
Le terme second ordre dans le nom fait référence à la dérivée d'ordre le plus élevé dans l'équation, qui est dans notre cas. Il existe des équations différentielles d'ordre arbitrairement élevé.
Solutions
Lorsque le côté droit est zéro, nous disons que l'équation est homogène :
Sa solution est désignée par .
En revanche, une équation inhomogène a une fonction donnée d'un côté, ce qui complique légèrement les choses. En plus du , nous devons ajouter une deuxième expression , appelée la solution particulière, pour obtenir la forme générale de la solution.
Remarque que tous les termes , ou dans l'équation se tiennent seuls. Par exemple, il n'y a pas de ou de . C'est ce que nous entendons par linéaire dans le nom. La linéarité est requise pour que les méthodes de solution que nous utiliserons fonctionnent.
Grâce à la propriété de linéarité, nous pouvons trouver d'abord en laissant . Ensuite, nous procédons à trouver une solution de manière à ce que la condition pour le côté droit soit satisfaite. Finalement, la solution complète est :
La propriété de linéarité dit aussi que si et résolvent tous deux l'équation homogène, alors est également une solution, à condition que et soient deux constantes arbitraires.
Équations différentielles homogènes
Visiterons le monde réel pendant un moment.
Un chariot jouet est attaché à un mur avec un ressort et un amortisseur. Familiarise-toi avec ce type de configuration. Il apparaîtra encore et encore, mais avec de légères variations. Désolé pour le manque d'imagination.
Le mouvement du chariot peut être décrit par l'équation :
où est la position en fonction du temps. et sont juste des valeurs, comme par exemple et . Comme il n'y a pas de forces externes, le côté droit de l'équation est .
Ensuite, résous pour les racines de . Ceci est appelé l'équation caractéristique.
Il y a trois cas pour la solution :
Si les deux racines sont distinctes : alors .
S'il n'y a qu'une seule racine : alors .
S'il y a deux racines complexes : alors .
Les Dieux des maths adorent le nombre !
Pour s'assurer que ce sont des solutions à l'équation différentielle, différencie-les et insère-les dans l'expression originale, fais confiance aux maths !
Bon, on va faire le premier cas pour toi. Voici comment. Commençons par différencier :
Si tu insérais tout dans l'équation originale , tu obtiendrais :
En réorganisant les termes, nous avons :
Essaye de mémoriser chacun de ces cas - c'est un bon investissement.
Équations différentielles inhomogènes
Les physiciens adorent les problèmes avec des chariots. C'est tellement amusant de regarder le chariot aller et venir, de voir le ressort du chariot se détendre et se contracter ! Et encore mieux, que se passe-t-il si quelqu'un applique une autre force ?
Dans cet exemple, un tout-petit applique une force au chariot. La force varie, et elle peut être écrite comme .
Appelons la position . Après un peu de physique, nous pourrions aboutir à une équation comme celle-ci :
C'est une équation différentielle inhomogène, car le côté droit n'est pas . Au lieu de cela, nous avons un terme . Beurk.
La solution générale peut être écrite comme :
La solution homogène est la solution de donnée par le polynôme caractéristique :
Ainsi, nous obtenons quelque chose comme .
Mais qu'en est-il de la solution particulière ? Puisque apparaît du côté droit, nous pourrions nous attendre à ce que la solution particulière contienne un terme . Il n'y a rien à perdre à essayer, n'est-ce pas ?
Utilisons tentativement . Alors , , et :
Cela signifie que :
Par conséquent, la solution particulière est :
La chance favorise ceux qui essaient. Et c'est souvent le cas en ce qui concerne les équations différentielles. Pour trouver la solution particulière, tu dois faire une supposition qualifiée.
En général, si le côté droit est :
Un polynôme : laisse être un polynôme du même degré. Si contient des solutions au problème homogène, multiplie par .
Une fonction trigonométrique : laisse être , où est le même que dans la fonction trigonométrique à droite. Si contient des solutions au problème homogène, multiplie par .
Une fonction exponentielle : laisse être .
Si ton côté droit est un produit de (1), (2) ou (3), laisse être un tel produit, sans spécifier les coefficients.
Après avoir développé tout ce que tu as du côté gauche, tu peux déterminer les coefficients.
Conditions initiales ou conditions aux limites
Lorsque nous résolvons une équation différentielle linéaire d'ordre deux, nous aboutissons à une solution qui contient deux constantes. Peu importe la forme de la solution, elles sont toujours là. Tant que les constantes restent indécidées, il existe un nombre infini de solutions à l'équation.
Les constantes sont déterminées par des valeurs initiales : des informations sur le système à un moment spécifique. Nous avons besoin d'autant de valeurs initiales que l'ordre de l'équation.
Pour une équation différentielle d'ordre , nous avons besoin de valeurs initiales pour déterminer toutes les constantes
Ce n'est pas un hasard. Il se trouve que l'ordre détermine le nombre de coefficients, et chaque coefficient nécessite une valeur initiale ou une valeur aux limites pour le trouver.
Une équation différentielle accompagnée des conditions initiales ou aux limites requises est appelée un problème de valeur initiale ou un problème de valeur aux limites. Si l'équation différentielle peut être résolue, cette configuration promet une solution complètement déterminée.
Le chariot : le grand final
Jusqu'à présent, nous avons déterminé la solution au problème du chariot jusqu'aux constantes. Sa position est :
Mais ce n'est pas très informatif à moins que nous sachions ce que sont les constantes.
Pour déterminer les constantes, nous avons besoin de deux conditions initiales. Cela signifie que nous devons connaître deux éléments parmi les informations suivantes :
la position ,
la vitesse , ou
l'accélération
à un moment donné.
Maintenant, un petit oiseau me chuchote à l'oreille la position du chariot à deux moments différents dans le temps :
Intègre ces conditions une à une dans la solution pour et regarde tout se mettre en place.
En utilisant la deuxième condition, nous terminons :
La solution finale est prête :
Insérer n'importe quelle valeur de dans l'équation donne maintenant la position exacte du chariot pour ce moment !
