Règles de différentiation

Disons que nous avons une expression :

que nous souhaitons différentier. Alors, nous sortons de la boîte à outils la règle de dérivation de polynômes. Elle nous indique comment différentier les composants, , avec étant une constante.

Montrer cette règle utile en utilisant la définition de la dérivée s'avère être un peu compliqué, alors nous allons commencer par les carrés et les cubes. Ensuite, nous finirons par montrer la règle en utilisant la définition pour .

Disons que nous avons la fonction :

Comment trouvons-nous sa dérivée ?

Jette un œil à cette forme carrée :

Sa longueur de côté est , donc l'aire est . En augmentant la longueur du côté d'un tout petit peu , nous voulons savoir comment cela affecte l'aire. Remarque que c'est en fait la dérivée du carré.

En coupant les nouvelles parties de notre carré, nous obtenons ces composants :

Ainsi, la taille du carré augmente de deux fois . Donc, en appelant l'aire du carré , le petit changement lorsque nous augmentons de est :

Comme nous l'avons mentionné lors de l'introduction des différentiels, nous sommes libres de déplacer le autour comme une variable. Nous le glissons donc de l'autre côté.

Tada ! La dérivée du carré. Et, comme l'aire du carré est une fonction de sa longueur de côté, nous avons maintenant effectivement trouvé la dérivée de :

Maintenant, certains d'entre vous se sont peut-être demandé pourquoi nous avons jeté si négligemment le petit carré dans le coin supérieur droit.

Il s'avère que lorsque nous diminuons suffisamment , les expressions avec des différentiels au carré disparaissent presque complètement. Cela peut sembler peu convaincant, mais l'aire tend effectivement vers zéro lorsque nous rendons infiniment petit.

En ajoutant une dimension, considérons :

Dans la section précédente, pouvait être considérée comme l'aire en fonction de sa longueur de côté. De manière analogue, est le volume d'un cube en fonction de sa longueur de côté .

En augmentant la longueur du côté d'un tout petit peu, le changement de volume est constitué par ces trois blocs, chacun ayant l'aire :

Le changement total d'aire est donc :

Les trois rectangles sur les bords du cube ont l'aire , donc parce qu'ils contiennent le terme , leur volume tend vers zéro lorsque nous rendons infiniment petit.

Maintenant, en glissant le dans l'équation ci-dessus vers le côté gauche, nous obtenons le changement de volume, en fonction de la longueur de côté variable :

Les deux exemples et suivent le même modèle lorsque nous prenons la dérivée : l'exposant est copié devant la variable, puis diminué de un.

En augmentant la dimension du cube représentant la fonction, nous finissons par être plus confus qu'éclairés. Cependant, le modèle continue lorsque nous voulons prendre la dérivée de et ainsi de suite.

Cela peut être formalisé par le théorème suivant.

La formule est valable pour tous les et tels que l'expression ait un sens en tant que nombre réel.

Note que si , l'exposant que nous déplaçons vers le bas est zéro. Ainsi, la dérivée de est zéro.

En utilisant la définition de la dérivée, nous montrons que la formule est valable pour :

Pour montrer la règle pour , une manière est de procéder de manière similaire, cependant cela devient rapidement laborieux avec le nombre de termes augmentant lorsque croît dans .

Les fonctions trigonométriques décrivent des quantités qui se comportent périodiquement, suivant des motifs réguliers.

Avec cela en tête, nous devrions nous attendre à ce que le taux de changement, ou la dérivée, de telles fonctions affiche un comportement périodique similaire.

Pense à la manière dont la température extérieure change habituellement au cours des quatre saisons.

Lorsque nous passons du printemps, où il fait de plus en plus chaud, à l'automne, où la température a tendance à baisser, nous passons d'un taux de changement positif à un taux négatif.

À un moment donné au milieu de l'été, lorsque la température est à son maximum, le taux de changement de la température sera alors de .

La même chose se produira au moment de la température minimale en hiver, lorsque le taux de changement passe de négatif à positif.

Si nous laissons représenter la température au temps , la fonction dérivée correspondante, qui décrit le taux de changement de la température, sera . Ceci est l'une des règles trigonométriques fondamentales de différenciation :

Notez que doit être exprimé en radians, les règles ne s'appliquent pas pour les angles mesurés en degrés !

Tous les théorèmes ci-dessus peuvent être prouvés en utilisant la définition formelle de la dérivée, mais le faire pourrait être une expérience douloureuse. Au lieu de cela, nous recommandons d'apprendre au moins les deux premières règles relativement simples par cœur.

Les diapositives suivantes t'enseigneront des techniques qui peuvent être utilisées pour dériver les quatre dernières règles à partir des dérivées du sinus et du cosinus, et des relations entre les fonctions trigonométriques.

Étant donné une fonction , comment différentierais-tu la fonction ?

La différentier avec la définition serait assez fastidieux. Essaye juste d'expanser ...

Eh bien, est le produit de deux fonctions, et , n'est-ce pas ?

Maintenant, pense à ce que représente la dérivée. La dérivée décrit un taux de changement. Comment le produit change-t-il ?

Si nous augmentons d'une petite quantité , cela provoquera un changement dans ainsi que dans . Les changements dans les fonctions composées dépendent ensuite de et . Nous nous attendrions donc à voir apparaître les termes et quelque part.

Comme nous avons affaire à un produit, il serait également logique qu'il y ait une certaine multiplication ici.

Ainsi, la règle pour la dérivée d'un produit est :

Elle apparaît tout le temps, donc tu devrais pouvoir donner la bonne réponse.

Puisque :

alors nous obtenons :

Nous avons besoin de la règle de la chaîne pour calculer la dérivée de fonctions qui ont une fonction comme argument. L'expression générique d'une telle fonction est :

Imaginons qu'on nous demande de calculer la dérivée de ceci :

Ici, nous aurions comme la fonction externe et comme la fonction interne.

Nous pouvons calculer de telles dérivées en jonglant un peu avec la définition de la dérivée. Cependant, armé de la règle de la chaîne, tu peux prendre le raccourci, directement vers une formule soignée :

En utilisant la notation de Leibniz, la règle peut également être écrite ainsi :

Une note : certaines littératures utilisent la notation pour signifier . Ces deux ont la même signification.

Pour comprendre pourquoi la règle de la chaîne est correcte, considérons une professeure de mathématiques qui se promène lentement dans le couloir de l'université la nuit, alors que les fenêtres tremblent à cause d'un train réel qui voyage à 10 fois sa vitesse. Le ciel est soudainement éclairé par une étoile filante, se déplaçant à 2000 fois la vitesse du train.

À quelle vitesse l'étoile se déplace-t-elle, comparée à la professeure de mathématiques ?

Nous connaissons la vitesse relative de l'étoile par rapport au train. Nous savons également à quelle vitesse le train se déplace par rapport à la professeure. En utilisant la notation de Leibniz pour les dérivées, nous pouvons écrire :

C'est la règle de la chaîne. Ce n'est qu'une manière de décomposer la dérivée en parties plus petites et plus gérables.

Dans l'exemple, les vitesses sont constantes. Nous aurions pu faire le calcul sans connaître la règle de la chaîne. Cependant, à mesure que les dérivées se compliquent, elle est tout aussi valide et bien plus puissante.

Jetons un coup d'œil à l'exemple que nous avons mentionné au début. Nous prenons la dérivée de étape par étape, en gardant à l'esprit que nous avons défini et . Nous obtenons :

Fréquemment, tu rencontreras des fonctions avec une fonction interne à l'intérieur de la fonction interne, ou où la fonction interne est un produit. Parfois, la composition est encore plus compliquée.

Lorsque cela se produit, ne désespère pas. Pour prendre la dérivée d'une fonction composée, nous appliquons les règles en séquence.

Cependant, une certaine confusion initiale est courante, et prendre la dérivée est un art qui nécessite de la pratique. Les exercices sont un bon point de départ pour maîtriser ce sujet.

Disons que je te donne une fonction qui ressemble à ceci :

et je te demande d'en prendre la dérivée. Que fais-tu ?

Tu pourrais par exemple me servir la solution sur un plateau, en utilisant la règle du quotient :

Cette règle peut être dérivée de la règle du produit de la manière suivante :

Nous notons que :

En utilisant ce fait, nous écrivons :

Et voilà à nouveau la règle du quotient.

Une petite remarque : en prenant la dérivée de , nous pouvons utiliser la règle de la chaîne : . La fonction interne est et la fonction externe est .

L'exemple le plus fondamental de la règle de dérivation d'un quotient est lors de la prise de la dérivée de :

Comme mentionné précédemment, nous pouvons utiliser la règle de la chaîne pour trouver la dérivée. Nous pouvons également utiliser la règle de dérivation d'un quotient.

La fonction numérateur serait alors . La dérivée de étant zéro, nous avons :

Cet exemple a son propre nom : la règle du réciproque.

Soit et . En prenant la dérivée du quotient, nous obtenons :

Le numérateur peut être simplifié avec des règles trigonométriques, car . Ainsi, nous obtenons :

Mais, comme nous l'avons vu en parlant des fonctions trigonométriques, . Nous avons donc démontré :

Ceci peut également être écrit comme , si nous n'utilisons pas les identités trigonométriques lors de la simplification.

Décortiquons le polynôme suivant :

C'est une somme des fonctions et . De plus, pourrait être considéré comme une valeur constante, , multipliée par la fonction .

Comment devrions-nous différencier le polynôme ? Heureusement, nous avons des règles de différentiation !

Il y a, par exemple, une règle de somme :

Elle fonctionne un peu comme la multiplication :

Étant donné une fonction , le changement dans la fonction est entièrement déterminé par les changements dans les fonctions composées.

Étant donné une constante , nous avons également la règle

Tout comme dans la multiplication ordinaire, on peut extraire un terme :

Enfin, la dérivée d'une constante est .

Cela a du sens à la lumière de l'interprétation géométrique de la dérivée. Si tu dessines une ligne tangente à une fonction constante comme , la tangente n'aurait aucune pente.

Commençons par la règle de la somme. Réarranges les termes dans la définition de la dérivée, et tu obtiendras :

Quand , nous finissons avec :

Ta-da. Voilà pourquoi la règle de la somme fonctionne.

Pour trouver notre seconde règle, nous ferons à peu près la même chose :

Encore une fois, en laissant , nous obtenons

Le même raisonnement nous donne la troisième règle. Si , nous obtiendrons juste :

Et quand , eh bien le résultat est .

Nous pouvons appliquer ces règles à notre polynôme . Elles nous donnent :

Puisque la règle de la somme et la règle du facteur constant sont valides, les mathématiciens disent que la différentiation est une opération linéaire.