Le logarithme naturel

Il existe quelques nombres en mathématiques qui sont plus appréciés que d'autres. L'un d'eux est le nombre , également appelé nombre d'Euler.

Une fonction exponentielle se présente ainsi :

La plus utile est , et nous la désignons comme la fonction exponentielle. Elle apparaît partout lorsque l'on parle de croissance naturelle. Parfois, tu la verras notée .

Comment pouvons-nous définir cette fonction ? Le nombre , mais les décimales continuent en réalité indéfiniment, donc il ne semble pas que devrait être très joli. Il s'avère pourtant assez soigné.

Regardons un exemple. Disons que ta banque offre une augmentation de fois l'argent si tu le gardes à la banque pendant un an.

Supposons en outre que garder l'argent à la banque pendant un demi-année te donne un intérêt de , et ainsi de suite pour des périodes plus courtes.

Alors, garder l'argent pendant un an te donnerait :

fois ce que tu as mis. Retirer l'argent à mi-chemin de l'année, et remettre immédiatement le nouveau montant te donnerait :

fois le montant original. C'est beaucoup plus !

Si tu choisis de retirer l'argent et de le remettre chaque jour de l'année, tu aurais autant de fois l'argent à la fin de l'année :

Nous appelons cela une somme binomiale. En écrivant tous les termes, il faut multiplier chaque terme de chaque parenthèse ensemble. De cette façon, tu te retrouves avec beaucoup de choses supplémentaires, par rapport à si tu n'avais retiré l'argent que deux ou trois fois.

En rendant les périodes de temps encore plus courtes, tu finirais avec :

fois le montant original. Comme tu peux le deviner, cela ajoute encore plus de termes à la somme, qui continue donc à croître. Enfin, en prenant la limite de l'expression ci-dessus, on obtient notre définition de :

Une note à part : le système bancaire a une protection intégrée contre le type de transactions décrit ci-dessus. Donc, pour s'enrichir, cette méthode n'est pas recommandée. Cependant, la croissance exponentielle (avec différents coefficients devant) décrit de manière réaliste des phénomènes allant de la croissance bactérienne, la puissance de traitement des ordinateurs, les réactions nucléaires et bien plus encore.

La fonction exponentielle est particulièrement intéressante en raison de certaines propriétés qui seront clarifiées plus tard dans ce cours. Mais parfois, nous avons aussi besoin de fonctions exponentielles avec une autre base :

Nous consacrerons cette section à énoncer certaines règles pour ce type de fonction. Elles peuvent sembler nombreuses, mais elles sont très utiles, donc accorde-leur un moment d'attention avant de continuer.

Les fonctions exponentielles peuvent être séparées en deux catégories :

Le premier type avec et peut être vu ci-dessous :

Les fonctions avec une base tendent vers l'infini lorsque tend vers , et vers lorsque tend vers l'infini.

Si, au contraire, nous prenons et , nous obtenons cette forme :

Si , la fonction tend vers l'infini lorsque tend vers l'infini, et vers lorsque tend vers l'infini négatif.

Peu importe la base, toutes les fonctions exponentielles suivent le même schéma en ce qui concerne certaines règles.

Les propriétés suivantes sont liées à différentes valeurs de l'exposant :

1)

2)

3)

4)

La deuxième règle implique que tous les graphiques exponentiels passeront par le point .

Soit et , et soit et des nombres réels. Alors, les règles suivantes s'appliquent :

Avec ces règles en poche, tu es prêt à gérer les calculs exponentiels.

Alors que tu t'apprêtes à manger, tu découvres que ta pasta carbonara a été gâchée. Elle est toute couverte de moisissure. Pourtant, tu ne l'avais gardée au frigo que quelques jours !

La moisissure se développe rapidement. Si tu commences avec un tas de moisissure, tu pourrais avoir quelque chose comme deux tas de moisissure le lendemain. Le jour suivant, les deux tas de moisissure ont grandi, et cela démarre un cycle vicieux.

Si la surface de la moisissure augmente d'un facteur de chaque jour, la surface totale peut être calculée comme

Ici, est le nombre de jours.

est ton chiffre porte-bonheur, donc tu essaies de calculer quand la moisissure couvrira cm. Ainsi, tu te retrouves avec l'équation :

Tu soupires de désespoir. Comment devrais-tu résoudre ce genre d'équation ? Lorsque tu entres l'équation dans Wolfram Alpha, tu obtiens :

Que signifie ici ? Le logarithme en base de , noté , répond à la question :

- quelle puissance de est égale à ? Généralement, cela ne peut pas être calculé à la main.

Le logarithme peut aussi être considéré comme la fonction inverse de la fonction exponentielle . Si :

alors :

En général, nous exigeons que et .

Voici les graphiques de et :

Il existe une poignée de règles sur les logarithmes, toutes valent la peine d'être mémorisées. Les voici dans toute leur splendeur :

Pendant que tu lis ceci, tu as soudain envie de prendre un thé Earl Grey. Après avoir fait bouillir l'eau et l'avoir versée dans la tasse, tu t'éloignes pour continuer à lire.

Tu devras attendre un peu pour que l'eau refroidisse, sinon tu te brûleras la langue. Souviens-toi, une fois tu as essayé de boire le thé peu après l'avoir fait bouillir et ta langue est devenue toute couverte de cloques blanches...

Cette fois, tu veux être sûr que le thé n'est pas trop chaud. Une rapide recherche sur Google révèle que la température idéale pour boire du thé est de 57°C. Mais combien de temps devrais-tu attendre ?

La température diminue plus rapidement lorsque le thé est chaud. Tu obtiens quelque chose comme cela :

Ici, est le temps écoulé depuis que tu as versé l'eau. est la température de la pièce, environ °C.

Il s'avère que cette relation est satisfaite si :

où et sont des constantes. Comme , . Pour simplifier, nous supposerons que l'autre constante est juste . C'est tout ce dont nous avons besoin pour calculer le temps.

Ok, nous sommes bloqués ici. Nous devons utiliser autre chose pour résoudre ce genre d'équation : à savoir, le logarithme naturel.

Le logarithme naturel d'un nombre , écrit , répond à la question à la puissance de quoi, égale ? Donc, . C'est aussi la fonction inverse de .

Revenons à notre exemple alors :

Nous finissons avec heures, soit environ minutes. Notre choix de la constante, , a probablement signifié que notre tasse avait un revêtement isolant.

Voici les graphiques de et :

Le logarithme népérien nous permet de résoudre un éventail de nouveaux problèmes. Avec le logarithme népérien, nous pouvons également réécrire toute fonction exponentielle, comme cela :

L'une des nombreuses utilisations pratiques de la fonction exponentielle est de définir un groupe spécial de fonctions, connues sous le nom de fonctions hyperboliques :

Les noms des fonctions, ainsi que les relations entre elles, suggèrent des similitudes avec les fonctions trigonométriques.

La vérité est que malgré une apparence plutôt différente au premier abord, ces fonctions ont beaucoup en commun avec leur homologue trigonométrique respectif.

À partir de nos définitions, prouver l'identité hyperbolique suivante est trivial :

Preuve :

L'équation ressemble à l'identité trigonométrique :

Cependant, le signe négatif entre les deux expressions fait de l'hyperbole unité l'objet reliant et , plutôt que le cercle unité comme pour et

Les graphiques des trois fonctions hyperboliques que nous avons définies se présentent comme suit :

Ces fonctions apparaissent naturellement dans diverses situations autour de nous. Par exemple, un fil suspendu librement et uniformément fixé aux deux extrémités suivra la courbe d'une fonction cosinus hyperbolique.

Imagine une corde à linge. Juste après le lavage, les vêtements mouillés et lourds vont peser sur la corde et perturber sa forme. Cependant, à mesure que les vêtements sèchent et deviennent plus légers, la corde ressemblera de plus en plus à une fonction cosinus hyperbolique.