Équations différentielles linéaires du premier ordre

Les équations différentielles décrivent comment une fonction et son taux de changement interagissent. Elles contiennent à la fois la fonction elle-même et une ou plusieurs de ses dérivées.

Une équation différentielle du premier ordre ne contient que des dérivées premières. C'est ce que signifie le premier dans cette expression.

L'équation différentielle à variables séparables dans sa forme la plus simple peut ressembler à ceci :

Ce qui la rend séparable, c'est que nous pouvons la réarranger de sorte que les termes en et soient séparés, restant de part et d'autre du signe égal.

Nous utilisons souvent au lieu de comme variable, car l'équation différentielle décrit fréquemment des systèmes dépendants du temps.

Voici la forme générique d'une équation différentielle à variables séparables :

Abordons les mathématiques depuis la savane.

Disons que nous avons un groupe de gazelles. Appelons le nombre de gazelles . Elles mangent de l'herbe et se reproduisent.

Que se passe-t-il pour la population, au fil des jours ?

La simple équation de la page précédente avec correspond à une savane où l'herbe ne se termine jamais, et un taux de reproduction proportionnel à la population actuelle :

Le est la constante de proportionnalité.

Nous allons maintenant résoudre l'équation.

Rappelle-toi que nous sommes autorisés à séparer les différentielles. En utilisant cela, nous réarrangeons l'équation en :

Ensuite, nous intégrons les deux côtés.

Remarque que nous pouvons inclure les constantes des deux intégrales indéfinies dans le . Enfin, en résolvant pour , nous élevons à l'équation :

provient de l'utilisation des règles exponentielles et en laissant . Déterminer peut être fait si nous savons combien de gazelles il y a à un moment spécifique .

Tant qu'il y a suffisamment d'herbe, la population peut continuer à croître ainsi, mais si l'herbe pousse trop lentement par rapport à la consommation des gazelles, la population cessera de croître.

De même, s'il y a trop de gazelles au départ, après une période exceptionnellement riche en herbe, certaines mourront de faim car toute l'herbe aura été mangée. La courbe de la population chutera donc.

Ce système a donc un équilibre, auquel le nombre de gazelles reste constant et égal à un certain nombre . La dérivée est nulle à l'équilibre :

Pour modéliser ce système plus réaliste mathématiquement, nous devons ajuster un peu l'équation. Regarde celle-ci :

Remarque comment, à mesure que se rapproche de , la dérivée devient de plus en plus petite. Si est supérieur à , la dérivée est négative : la population diminue.

Cette équation peut paraître intimidante à première vue. Mais elle est également séparable. Si tu essayes par toi-même, un indice est :

La solution est ...

Ici, est le nombre de gazelles au temps .

Ce modèle est largement utilisé pour modéliser la croissance des populations. L'équation est appelée l'équation différentielle logistique.

Considérons une équation différentielle de la forme :

Pour la résoudre en utilisant des intégrales indéfinies, nous aimerions séparer tous les et en termes différents.

Si nous divisons le côté gauche par , nous obtenons seul, mais nous sommes forcés de diviser également le côté droit par , ce qui nous laisse avec un autre terme mixte.

Sans moyen d'éviter ce mélange, nous concluons que l'équation n'est pas séparable, et nous avons besoin d'une méthode alternative pour la résoudre.

Il s'avère que cette méthode alternative sera toujours similaire pour les équations de cette forme, et elle impliquera à la fois des intégrales indéfinies et la règle du produit.

Si nous trouvons une antiderivée de :

Alors est appelé un facteur intégrant, et une solution à l'équation prendra la forme :

Passons immédiatement à un exemple utilisant cette méthode, avant de regarder pourquoi elle fonctionne, pour ceux qui sont curieux.

Une usine située à côté d'un lac déverse des déchets liquides de leur production, composés d'eau contaminée avec 2 grammes () d'arsenic par litre (), directement dans le lac où ils se mélangent à l'eau déjà présente.

Pendant la première heure, 1 litre de déchets a coulé de l'usine, mais l'entreprise est en constante expansion, et chaque heure (), elle déverse un litre de déchets de plus dans le lac par rapport à l'heure précédente. L'eau du lac se mélange et quitte le lac à la même vitesse que l'usine ajoute des déchets via une petite rivière. Ainsi, le volume du lac reste constant à un million de litres.

Combien d'arsenic y aura-t-il dans le lac heures après la mise en service de l'usine ?

Solution :

Soit la quantité d'arsenic dans le lac, mesurée en grammes, en fonction du temps en heures. Nous voyons que l'arsenic entre dans le lac à un rythme de :

et que le contaminant quitte avec un taux de :

Alors, le taux auquel le niveau augmente est donné par :

Ceci n'est autre que l'équation différentielle que nous devons maintenant résoudre pour répondre à la question. Remarquez que nous pouvons la réarranger sous la forme vue ci-dessus :

La première étape pour résoudre l'équation sera de trouver le facteur intégrant.

Rappelez-vous que le facteur intégrant sera sous la forme , où est une antiderivée de .

En utilisant la règle de puissance à l'envers, nous trouvons que prend la forme :

où nous pouvons choisir le plus simple avec .

Maintenant, nous nous rapprochons de la solution :

Si nous supposons que le lac était complètement exempt d'arsenic avant la mise en service de l'usine, nous avons la condition initiale dont nous avons besoin pour déterminer :

alors nous obtenons, et nous avons trouvé notre solution complète, nous fournissant une fonction pour la quantité d'arsenic dans le lac au temps t, mesurée en grammes :

Pour ceux qui se demandent pourquoi les facteurs intégrants fonctionnent pour résoudre des équations différentielles non séparables, décomposons la méthode.

Nous avons une équation de la forme :

Commencez par multiplier le côté gauche de l'équation par le facteur intégrant que nous avons défini plus tôt :

Nous remarquons alors qu'en utilisant la dérivée des exponentielles, et la règle de la chaîne :

Ce que nous avions peut donc être écrit comme :

Rappelez-vous que est la dérivée de par rapport à , et la forme de l'expression devrait vous être familière. En fait, c'est exactement ce que donne la règle du produit pour :

Remarquez que tout ce que nous avons fait était de multiplier le côté gauche de l'équation initiale par , le reste n'était que réarranger le résultat. Par conséquent, nous devons multiplier par le même facteur intégrant à droite :

Si nous trouvons maintenant l'intégrale indéfinie des deux côtés, nous obtenons :

Maintenant, en multipliant les deux côtés par , on fait apparaître seul à gauche, et nous avons trouvé la forme générale d'une solution à notre équation différentielle :

Puisque peut être n'importe quelle constante, nous pouvons la laisser égale à zéro, ce qui nous donne la solution la plus simple :