Limites

La limite nous indique comment la fonction se comporte lorsque nous nous approchons de plus en plus d'une valeur particulière de .

Par exemple, regardons la fonction .

À mesure que s'approche de , la valeur de la fonction tend vers . Cela s'écrit comme

Dans ce cas, substituer te donnera la limite lorsque s'approche de . Facile, n'est-ce pas ?

Cependant, ce cas est un luxe. Considérez la fonction :

La fonction n'est pas définie pour , car nous ne pouvons pas diviser par . À en juger par le graphique de la fonction, il semble que :

Que voulons-nous réellement dire lorsque nous disons "à mesure que s'approche de , la valeur de la fonction tend vers "? En symboles, c'est :

Eh bien, cela signifie que la valeur de la fonction peut se rapprocher très près de si nous faisons suffisamment de pas vers sur l'axe des .

Et par "très proche de ", nous entendons que tombe dans le couloir étroit illustré ci-dessous.

Maintenant, supposons que

Tu me donnes un petit couloir, je trouverai une valeur de suffisamment proche de pour que convienne. C'est juste une question de se rapprocher de .

Ta-da. C'est essentiellement la définition d'une limite.

Même pour des fonctions simples, calculer des limites par définition est assez laborieux.

Voici quelques règles pour calculer les limites.

De plus, il y a une règle pour la composition des limites.

Dans le dernier théorème, tout ce que nous avons est :

La valeur que nous donnons à approche , donc nous disons effectivement :

La limite d'une fonction , pour une certaine valeur , est un nombre qui nous indique comment la fonction se comporte à mesure que nous approchons de .

Avec cela à l'esprit, nous pouvons parler de la limite de lorsque nous nous déplaçons vers par la droite ou par la gauche. C'est ce qu'on entend par limites unilatérales.

Se déplacer vers par la droite est également appelé approcher par le dessus, ce que nous notons par :

De même, lorsque nous nous déplaçons vers par la gauche, nous disons que nous approchons par le dessous :

Dans certains cas, les deux limites sont les mêmes, et d'autres fois elles ne le sont pas.

Les limites révèlent souvent des informations utiles sur une fonction à un point où elle est indéfinie.

Regarde la fonction suivante :

Nous pourrions être tentés de simplifier l'expression comme :

En le faisant, nous devons être prudents de ne pas inclure le point , où le dénominateur serait zéro et la fonction indéfinie.

Bien que la fonction n'ait pas de valeur précisément à , nous pouvons voir que à mesure que s'approche de des deux côtés, la valeur de la fonction tend vers , donc :

ou simplement :

Considérons maintenant cette fonction définie par morceaux à la place :

Ici, nous voyons que :

tandis que

Puisque :

alors nous pouvons conclure que la limite de n'existe pas à .

Certaines fonctions ont la propriété que, lorsque tend vers l'infini, alors tend vers une certaine valeur .

Nous disons que la limite de lorsque tend vers l'infini est . Cela s'écrit :

Ce que nous voulons dire par là peut être illustré comme un jeu. Le jeu se joue entre toi et moi, et je suis destiné à perdre.

Disons que nous avons une fonction qui a pour limite , lorsque tend vers . Je commencerai le jeu en te donnant un couloir assez étroit, parallèle à l'axe des et centré autour de .

Ensuite, en marchant le long de l'axe des , tu trouveras une valeur pour laquelle reste dans le couloir pour toutes les valeurs de supérieures à ce .

À mon tour, je vais essayer de rendre cela difficile, en rendant mon couloir 1 000 fois plus étroit. Cependant, tu continues ton chemin le long de l'axe des et trouves sans problème un nouveau pour que, de nouveau, pour tous les plus loin à droite, reste joliment à l'intérieur de mon couloir.

Le jeu peut continuer indéfiniment, mais tu peux toujours contrer la largeur de mon couloir avec une valeur plus grande et gagner la manche.

Comme pour les limites en un point, il existe des règles utiles pour calculer les limites à l'infini. Elles sont données par le théorème suivant :

Le dans doit être choisi de manière que pour chaque .

Enfin, il existe une règle pratique pour la limite de .

Ce dernier théorème peut paraître compliqué au premier abord, alors décomposons-le. En commençant par l'intérieur, nous remarquons que nous insérons en fait un argument aléatoire qui tend vers l'infini dans :

Ainsi, ce que nous obtenons finalement est juste :

Considère une fonction :

À mesure que s'approche de , devient de plus en plus grand - infiniment grand. Son graphique de fonction s'envole vers l'infini, alors nous écrivons :

Mais attends, n'est pas un nombre. Comment devons-nous traiter l'expression ci-dessus ?

Jouons à un jeu. Je te donne un nombre , tu me donnes une valeur de telle que . Prêt ?

Pour commencer, je te donne . Tu réponds par . Facile.

Et pour ? Utilise simplement .

Essayons un autre nombre. Je dis . Eh bien, c'est aussi facile. Tu peux juste utiliser . À ce stade, j'abandonne.

Ce jeu illustre ce que nous entendons par des expressions comme

ou

Cela signifie que quel que soit le nombre que je te donne, tu peux toujours trouver un tel que .

Cela signifie que je vais perdre, et tu vas gagner.

Quand c'est possible, les mathématiciens aiment trouver des noms descriptifs pour les théorèmes. Par exemple, il y a un théorème de la boule poilue, et une loi du statisticien inconscient.

Cependant, il est difficile de battre le théorème des deux officiers et un ivrogne. (Oui, c'est vraiment le nom d'un théorème!) Mais il est plus communément connu sous un alias plus court, le théorème des gendarmes.

Alors, que dit le théorème ?

Imagine deux policiers escortant un prisonnier ivre entre eux. Ils roulent tous à la même vitesse.

Le prisonnier peut tituber entre les officiers, mais en vain. Comme les deux policiers se rendent au poste de police, le prisonnier finit aussi au poste de police.

Cette idée est au cœur du théorème des gendarmes.

Dans le théorème des gendarmes, est analogue au prisonnier, tandis que les deux officiers correspondent à deux fonctions limites.

Le théorème des gendarmes peut également être appliqué aux limites à l'infini, comme

Soit et deux fonctions qui tendent vers la même valeur lorsque s'approche d'un point .

Quelle est alors la limite suivante :

Pour des expressions composées d'une fonction divisée par une autre fonction, où les deux tendent vers la même valeur à mesure que s'approche d'un point, il n'est pas évident de savoir vers quelle valeur l'expression entière tend.

Les deux équations pourraient par exemple augmenter de plus en plus alors que tend vers l'infini, mais laquelle d'entre elles grandit plus rapidement ?

Cette question est souvent intéressante pour les informaticiens qui étudient la complexité temporelle, où ils visent à comparer la vitesse de différents algorithmes.

Pour aider à résoudre ce problème, il existe quelques limites usuelles avec des valeurs connues que nous pouvons utiliser.

Dans le graphique, et ont tous les deux la valeur de , mais pour toute fonction exponentielle avec une base supérieure à , l'exponentielle croîtra plus rapidement que la fonction puissance au dénominateur.

Comme dans le dernier exemple, le choix de la base du logarithme et de l'exposant pour le polynôme n'a pas d'importance. La courbe logarithmique s'aplatira toujours et sera dépassée par le polynôme.

Remarque comment le graphique de et se suivent autour de .