Dominando los conceptos básicos del cálculo de una variable - Una guía para principiantes

Q: ¿Cuál es el teorema del valor medio?

El teorema del valor medio establece que para una curva que se extiende desde un punto hasta otro, habrá al menos otro punto en la curva donde su tangente sea paralela a la línea recta entre los puntos finales.

En este curso, proporcionaremos una visión integral del cálculo de una variable, incluyendo conceptos clave como límites, derivadas e integrales.

Tabla de contenidos

¿Qué se incluye en un curso de cálculo?

Los siguientes 23 temas se incluyen típicamente en un curso de cálculo

1. Límites

Las funciones no siempre están definidas para todas las entradas. Por ejemplo, la división por cero no está permitida. Para ver cómo se ve la función cerca de tal entrada, estudiamos el límite a medida que la entrada se acerca a este punto.

2. Continuidad

Los números enteros se consideran números discretos; están distribuidos con brechas entre ellos. El conjunto de números reales, sin embargo, es continuo, ya que entre dos números reales siempre encontrarás más de ellos. El mismo concepto se extiende a las funciones, donde una función continua es aquella sin brechas.

3. Derivadas

La derivada de una función proporciona su tasa de cambio instantánea en cualquier punto. Esto es análogo a la pendiente de una línea paralela a la función allí, que, junto con el concepto de límites, formula la definición de la derivada: $$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

4. Reglas de derivación

Encontrar derivadas no siempre es sencillo utilizando la definición. Afortunadamente, el tema está bien investigado y se han descubierto múltiples reglas prácticas que simplifican la tarea según la forma de la función.

5. Teorema del valor medio

El teorema del valor medio es simple pero poderoso: entre dos puntos en una función continua, la derivada en algún lugar igualará la pendiente de la línea que conecta los puntos.

6. Derivadas implícitas

Si y no es una función de x, pero aún así tenemos una relación entre ellos a través de alguna ecuación, no podemos formular la derivada como una función de x. Este es el caso de un círculo con radio $a$: $$x^2 + y^2 = a^2$$ Una línea tangente a este círculo tendrá la pendiente $ -\frac{y}{x}$. Esta derivada es implícita, a diferencia de explícita como función de $x$ solo.

7. Funciones inversas

Una función es una forma de procesar números. Ingresas algún número y obtienes uno nuevo. La inversa de una función es entonces un proceso de rehacer, que toma la antigua salida y devuelve la entrada inicial.

8. Antiderivadas

Como insinúa el nombre, las antiderivadas son los reversos de las derivadas. Si una función $f(x)$ tiene la derivada $f'(x)$, $f(x)$ es una antiderivada de $f'(x)$. Dada una función $f(x)$ puede a su vez tener antiderivadas por sí misma, que generalmente se denotan como $F(x) + C$. La constante $C$ siempre se puede agregar ya que derivar elimina cualquier constante.

9. El logaritmo natural

El logaritmo natural $$\ln(x) = \log_{e}(x)$$ es la función logarítmica con el número de Euler $e$ como base. Los logaritmos y las funciones exponenciales tienen una relación inversa entre sí, y así el logaritmo natural pregunta: ¿Cuál es el exponente $a$ que hace que $e^{a} = x$.

10. Derivadas de logaritmos y exponenciales

Una propiedad clave de la función exponencial natural $e^{x}$ es que constituye su propia derivada. Esto, junto con algunas reglas de exponentes y derivación, se puede usar para encontrar la derivada de cualquier función exponencial: $$\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln{a}$$ De manera similar, el hecho de que la derivada del logaritmo natural es $1/x$ nos ayuda a determinar la derivada de la función logarítmica general: $$\frac{d}{dx}\log_{a}(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$$

11. Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas proporcionan información sobre la proporción de las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ en un triángulo rectángulo, dado un ángulo $x$. Ahora, las funciones trigonométricas inversas van en la otra dirección y exponen los ángulos, dadas estas proporciones: $$\sin(x) = \frac{a}{c} \implies \arcsin\left(\frac{a}{c}\right) = x$$ $$\cos(x) = \frac{b}{c} \implies \arccos\left(\frac{b}{c}\right) = x$$ $$\tan(x) = \frac{a}{b} \implies \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = x$$

12. Valores extremos y bosquejo

Visualizar una función al dibujarla puede ser de gran ayuda para entender el problema modelado por la función. Los valores extremos ocurren en puntos que son particularmente interesantes o útiles para pintar la imagen.

13. Optimización

Las técnicas de optimización tienden a involucrar una gran parte del cálculo. La idea principal es lo que podemos decir sobre una función y su derivada donde toma su valor máximo. Dado que no aumentará sin importar en qué dirección cambiemos $x$, encontramos este punto donde la derivada es igual a cero.

14. Polinomios de Taylor

Cualquier función matemática $f(x)$ se puede escribir como un polinomio de esta forma especial: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Este polinomio de Taylor, llamado así, puede ser de orden infinito, pero a menudo se obtiene una buena aproximación al considerar suficientes términos y dejando que el punto de referencia $a$ esté cerca del punto $x$ que nos interesa. Los términos que involucran derivadas de orden superior pueden ser despreciados sin una pérdida significativa de precisión.

15. Cálculo de límites

Cuando el límite de una función no es inmediatamente evidente, hay ciertas técnicas que podemos emplear para encontrarlo. Podría ser el caso, por ejemplo, que la función sea una razón de dos expresiones que tienden ambas a infinito a medida que $x$ crece. En tal caso, debemos considerar cuál de ellas crece más rápido en comparación con la otra. Un método para determinar esto es comparar las derivadas de las expresiones.

16. Integrales

Las integrales, denotadas por el símbolo icónico $int$, están estrechamente relacionadas con las antiderivadas. Resulta que evaluar la antiderivada de una función en dos puntos y calcular la diferencia revela información fundamental sobre la situación que describe la función.

17. Técnicas de integración

Al igual que hay atajos para encontrar la derivada de una función, a menudo podemos emplear métodos estándar para integrar una función según el tipo de función que tengamos frente a nosotros.

18. Aplicaciones e integrales impropias

Un resultado algo contraintuitivo del cálculo es que incluso una función que se extiende infinitamente en una dirección puede contener un área de tamaño finito. A la luz de este fenómeno, es importante no sacar conclusiones precipitadas al tratar con integrales impropias; integrales que involucran infinitos.

19. Series

Una serie $S$ es una suma de infinitos términos: $$S = \sum_{n}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ...$$ La suma es probablemente la operación matemática más básica e intuitiva que hay, y las series a menudo proporcionan formas agradables y simples de abordar problemas difíciles.

20. Sumas de Riemann y aproximación de integrales

Si tienes dificultades para entender la aparente forma mágica de calcular áreas usando integrales, no estás solo. No fue hasta que la integración fue justificada por la analogía con sumas de segmentos infinitamente estrechos, llamadas sumas de Riemann, que la mayoría de los matemáticos comenzaron a aceptar el método.

21. Métodos numéricos

Calcular integrales analíticamente puede ser doloroso para funciones complicadas. En algunos casos, ni siquiera es posible debido al hecho de que no todas las funciones tienen antiderivadas. Cuando nos enfrentamos a tal problema, nos alegra contar con métodos numéricos a nuestra disposición.

22. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

A diferencia de las ecuaciones regulares, donde buscamos encontrar el valor de una variable $x$, las ecuaciones diferenciales explican una relación entre una función y su derivada, y lo que buscamos es la función original. Una ecuación diferencial lineal de primer orden se puede escribir en la forma: $$f'(x) + af(x) = 0$$

23. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es aquella que contiene no solo la derivada de la función que queremos encontrar, sino también la derivada de esta derivada: $$f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0$$

¿Qué es el cálculo de una variable?

El cálculo de una variable es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de funciones y sus tasas de cambio. Involucra los conceptos de derivadas e integrales, que se utilizan para estudiar el comportamiento de las funciones y resolver problemas en una amplia gama de campos, incluyendo física, ingeniería y economía.

El cálculo de una variable se divide típicamente en dos subcampos: cálculo diferencial, que se ocupa del estudio de las tasas de cambio, y cálculo integral, que se ocupa del estudio de la acumulación de cantidades. Juntos, estos dos subcampos forman la base de gran parte del cálculo moderno.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un límite?

Un límite es un concepto que describe el comportamiento de una función a medida que sus entradas se acercan cada vez más a un valor específico. El límite de una función en un punto particular es el valor al que se acerca la función a medida que las entradas se acercan cada vez más a ese punto.

¿Cuál es el teorema del valor intermedio?

El teorema del valor intermedio establece que para una curva que se extiende desde un punto hasta otro, habrá al menos otro punto en la curva donde su tangente sea paralela a la línea recta entre los puntos finales.

¿Cuál es la regla de la cadena?

La regla de la cadena es un concepto fundamental en el cálculo de una variable que se utiliza para diferenciar funciones compuestas. Una función compuesta es una función que está formada por dos o más funciones combinadas. Por ejemplo, si tenemos dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, podemos crear una nueva función $h(x)$ que es la composición de $f(x)$ y $g(x)$ definiendo $h(x)$ como $h(x) = f(g(x))$.

¿Cuál es el teorema fundamental del cálculo?

El Teorema Fundamental del Cálculo es un resultado fundamental en el cálculo de una variable que establece la conexión entre los conceptos de derivación e integración. Hay dos partes en el teorema, ambas importantes para comprender la relación entre estos dos conceptos.

La primera parte del teorema establece que la integral definida de una función sobre algún intervalo se puede calcular evaluando la función en los extremos del intervalo y tomando la diferencia.

La segunda parte del teorema establece que la integral indefinida de una función (también conocida como su antiderivada) se puede encontrar evaluando una cierta integral definida. Juntas, estas dos partes del teorema proporcionan una herramienta poderosa para resolver una amplia gama de problemas en cálculo.

¿Para qué se utiliza el cálculo? - 6 casos prácticos de uso

1. Cálculos y análisis de precios de bienes

Con la ayuda de derivadas implícitas, se pueden resolver ecuaciones donde la diferenciación ordinaria falla. Por ejemplo, para predecir los precios de los bienes, es necesario comprender la relación entre muchas variables diferentes que afectan su precio. En una economía de mercado, el precio de todos los bienes se determina en función de la oferta y la demanda, por lo que las derivadas implícitas son esenciales para todos los corredores de bolsa.

2. Encriptación

Una función de encriptación toma un mensaje como entrada, lo mezcla y produce un mensaje encriptado. Para desencriptar un mensaje, es necesario encontrar la función inversa que revierte el cifrado.

Uno de los ejemplos más famosos de encriptación fue la Enigma, utilizada por los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial para cifrar sus mensajes. En Enigma, cada letra se reasignaba automáticamente a una nueva letra, haciendo que el cifrado fuera más difícil de descifrar.

Los criptólogos finalmente inventaron una máquina para encontrar la configuración de Enigma. La ruptura del código Enigma, que fue crucial para el resultado de la guerra, significó construir una función inversa.

3. Datación por carbono-14 de materia orgánica

El carbono-14 es una forma de carbono que se encuentra en todos los seres vivos. Sin embargo, a medida que un organismo muere, este elemento radiactivo comienza a descomponerse con el tiempo. Por lo tanto, al medir la cantidad de carbono-14 presente en un objeto muerto, la datación por radiocarbono nos dice cuánto tiempo hace que murió el organismo.

Esta descomposición es exponencial, lo que significa que la tasa de disminución depende de la cantidad actual restante. Mientras que la función exponencial nos dice cuánto carbono-14 queda en el tiempo $t$, el logaritmo natural responde a la pregunta: Dada la cantidad de carbono-14 restante, ¿cuál es $t$?

4. Dosificación de medicamentos

Para que el nivel de azúcar en la sangre no alcance una cantidad peligrosa entre los diabéticos, los monitores de glucosa miden la cantidad actual en la sangre y señalan cuando el nivel es demasiado alto.

La señal se envía a una bomba de insulina, que luego inyecta una dosis de esta hormona crucial. Ayuda al cuerpo a transferir la glucosa de la sangre a las células, donde se utiliza como combustible, y por lo tanto reduce el nivel en la sangre.

Si pensamos en la cantidad de azúcar en la sangre registrada por un monitor continuo de glucosa como una función del tiempo, determina dónde y qué serán los valores extremos de la función. Esencialmente, es dibujar el gráfico.

5. Diagnóstico de cáncer

El campo de la medicina ha avanzado mucho en los últimos años en cuanto al tratamiento del cáncer. Aunque aún no es perfecto, el proceso de curar a los pacientes de la enfermedad se ha optimizado de muchas maneras.

Con técnicas modernas de aprendizaje automático, los equipos médicos pueden utilizar varios tipos de imágenes para escanear el tejido de un paciente y detectar tumores.

Una parte crucial de los algoritmos de visión por computadora utilizados para diagnosticar pacientes a partir de imágenes es maximizar la probabilidad del programa de encontrar células cancerosas, minimizando al mismo tiempo los riesgos de hacer predicciones erróneas.

Después del diagnóstico, otro tipo de optimización entra en juego, ya que es el momento de deshacerse del tumor.

Para una terapia de radiación exitosa, es importante equilibrar la cantidad de radiación para que sea efectiva para matar las células malignas, sin exceder un nivel general insalubre.

6. Predicción de poblaciones a lo largo del tiempo

Desde 1970, la humanidad ha exterminado más del 60% de todas las poblaciones de animales. Pero empezamos mucho antes: ejemplos de extinciones impulsadas por humanos se remontan a más de cien mil años.

Por ejemplo, la llegada de los humanos a Sudamérica es la razón más probable por la cual el animal llamado perezoso gigante terrestre se extinguió hace unos once mil años.

Las ecuaciones diferenciales nos permiten calcular cuántos animales habrá en alguna fecha posterior en el tiempo. Solo necesitamos saber cuántos comenzamos y cómo cambia la cantidad.

¿Es difícil el cálculo de una variable?

El cálculo en una variable es el curso que más se asemeja a las matemáticas de la escuela secundaria, lo que tiende a dar confianza a los estudiantes. Pero ten cuidado, muchos estudiantes lo hacen peor en el examen de lo que pensaban.

La razón por la que los estudiantes obtienen peores resultados de lo esperado es que sienten una falsa sensación de seguridad, ya que la mayoría del material se puede reconocer del cálculo de la escuela secundaria. Sin embargo, el cálculo universitario tiende a ser mucho más exigente, tanto en teoría como en resolución de problemas. Se podría decir que es el reinicio grande para el viaje matemático de cualquier estudiante.

La parte más difícil del cálculo de una variable suele considerarse el concepto de límites. Para entender el cálculo, es esencial poder comprender la idea de un límite, que es un concepto fundamental que subyace a muchos de los otros conceptos en el cálculo. Un límite describe el comportamiento de una función a medida que sus entradas se acercan cada vez más a un valor específico, y entender cómo evaluar límites es crucial para poder trabajar con derivadas e integrales.

Otros conceptos difíciles en el cálculo de una variable incluyen la regla de la cadena, que se utiliza para diferenciar funciones compuestas, y el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta los conceptos de derivación e integración.

Buen esquema para cálculo y lista de tareas corta

Trabajamos duro para brindarte conocimientos cortos, concisos y educativos. Contrariamente a lo que hacen muchos libros.

Obtén problemas de exámenes antiguos para exámenes de cálculo divididos por capítulos

La clave es aprender tanto la teoría como practicar con problemas de exámenes. Los hemos categorizado para que sea más fácil.