Reglas de derivación

Digamos que tenemos una expresión:

que deseamos diferenciar. Entonces, sacamos de la caja de herramientas la regla de la potencia. Nos dice cómo diferenciar los componentes, , con siendo una constante.

Mostrar esta útil regla usando la definición de la derivada resulta ser un poco complicado, así que comenzaremos con cuadrados y cubos. Luego, terminaremos mostrando la regla usando la definición para .

Digamos que tenemos la función:

¿Cómo encontramos su derivada?

Echa un vistazo a esta forma cuadrada:

Su longitud lateral es , por lo que el área es . Aumentando la longitud lateral un poquito , queremos saber cuánto afecta esto al área. Observa que esto es en realidad la derivada del cuadrado.

Cortando las partes nuevas de nuestro cuadrado, obtenemos estos componentes:

Entonces, el tamaño del cuadrado aumenta por dos veces . Por lo tanto, llamando al área del cuadrado , el pequeño cambio al aumentar por es:

Como mencionamos al introducir los diferenciales, somos libres de mover el como una variable. Así que lo arrastramos al otro lado.

¡Tachán! La derivada del cuadrado. Y, como el área del cuadrado es una función de su longitud lateral, ahora hemos encontrado efectivamente la derivada de :

Ahora, algunos de ustedes pueden haberse preguntado por qué descartamos tan despreocupadamente el pequeño cuadrado en la esquina superior derecha.

Resulta que a medida que disminuimos suficientemente, las expresiones con diferenciales al cuadrado prácticamente desaparecen por completo. Esto puede sonar poco convincente, pero el área en realidad se reduce a cero cuando hacemos infinitamente pequeño.

Añadiendo una dimensión, considera:

En la sección anterior, podría pensarse como el área en función de su longitud lateral. Análogamente, es el volumen de un cubo en función de su longitud lateral .

A medida que aumentamos la longitud lateral un poco, el cambio en el volumen está compuesto por estos tres bloques, cada uno con el área :

El cambio total en el área es entonces:

Los tres rectángulos en los bordes del cubo tienen el área , por lo que, como contienen el término , su volumen se reduce a cero a medida que hacemos infinitamente pequeño.

Ahora, moviendo el en la ecuación anterior al lado izquierdo, terminamos con el cambio en el volumen, como función de la longitud lateral cambiante :

Los dos ejemplos y siguen el mismo patrón al tomar la derivada: el exponente se copia delante de la variable y luego se disminuye en uno.

Aumentando la dimensión del cubo que representa la función, terminamos estando más confundidos que iluminados. Sin embargo, el patrón continúa a medida que queremos tomar la derivada de y así sucesivamente.

Esto puede formalizarse mediante el siguiente teorema.

La fórmula es válida para todos los y tales que la expresión tenga sentido como un número real.

Ten en cuenta que si , el exponente que movemos hacia abajo es cero. Por lo tanto, la derivada de es cero.

Usando la definición de la derivada, mostramos que la fórmula es válida para :

Para mostrar la regla para , una forma es proceder de manera similar, sin embargo, rápidamente se vuelve laborioso con el número de términos aumentando a medida que crece en .

Las funciones trigonométricas describen cantidades que se comportan periódicamente, siguiendo patrones regulares.

Con esto en mente, deberíamos esperar que la tasa de cambio, o derivada, de tales funciones muestre un comportamiento periódico similar.

Piensa en cómo la temperatura exterior suele cambiar a lo largo de las cuatro estaciones.

A medida que avanzamos desde la primavera, cuando se está calentando, hacia el otoño, cuando la temperatura tiende a caer coincidentemente, pasamos de una tasa de cambio positiva a una negativa.

En algún momento a mediados del verano, cuando hace tanto calor como puede ser, la tasa a la que cambia la temperatura será entonces .

Lo mismo sucederá en el momento de temperatura mínima en invierno, ya que la tasa de cambio pasa de ser negativa a positiva.

Si dejamos que represente la temperatura en el tiempo , la correspondiente función derivada, que describe la tasa de cambio de temperatura, será . Esta es una de las pocas reglas trigonométricas fundamentales de diferenciación:

¡Ten en cuenta que debe expresarse en radianes, las reglas no se mantienen para ángulos medidos en grados!

Todos los teoremas anteriores pueden ser demostrados utilizando la definición formal de la derivada, pero hacerlo podría ser una experiencia dolorosa. En su lugar, recomendamos que al menos aprendas de memoria las dos primeras reglas relativamente simples.

Las diapositivas siguientes te enseñarán técnicas que se pueden usar para derivar las últimas cuatro reglas a partir de las derivadas del seno y el coseno, y las relaciones entre las funciones trigonométricas.

Dada una función , ¿cómo diferenciarías la función?

Diferenciarla con la definición sería bastante trabajoso. Solo intenta expandir ...

Bueno, es el producto de dos funciones, y , ¿verdad?

Ahora piensa en lo que representa la derivada. La derivada describe una tasa de cambio. ¿Cómo cambia el producto?

Si aumentamos por alguna cantidad pequeña , causará un cambio en así como en . Los cambios en las funciones compuestas a su vez dependen de y . Entonces esperaríamos que los términos y aparecieran en algún lugar.

Dado que estamos tratando con un producto, también sería lógico si hubiera alguna multiplicación aquí.

Por lo tanto, la regla para la derivada de un producto es:

Aparece todo el tiempo, así que deberías poder dar la respuesta correcta.

Dado que:

entonces obtenemos:

Necesitamos la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones que tienen una función como argumento. La expresión genérica de tal función es:

Imaginemos que se nos pide calcular la derivada de esto:

Aquí, tendríamos como la función externa y como la función interna.

Podemos calcular tales derivadas jugueteando un poco con la definición de la derivada. Sin embargo, armados con la regla de la cadena, puedes tomar el atajo, directamente a una fórmula pequeña y ordenada:

Usando la notación de Leibniz, la regla también puede escribirse así:

Una nota al margen: algunas literaturas usan la notación para significar . Estos dos tienen el mismo significado.

Para tener una idea de por qué la regla de la cadena es correcta, consideremos a una profesora de matemáticas, ella camina lentamente por el pasillo de la universidad por la noche, mientras las ventanas tiemblan por un tren real que viaja a 10 veces su velocidad. El cielo se ilumina repentinamente por una estrella fugaz, moviéndose a 2000 veces la velocidad del tren.

¿Cuánto más rápida es la estrella, comparada con la profesora de matemáticas?

Sabemos la velocidad relativa de la estrella en comparación con el tren. También sabemos qué tan rápido es el tren en comparación con la profesora. Usando la notación de Leibniz para derivadas, podemos escribir:

Esta es la regla de la cadena. Es solo una forma de descomponer la derivada en partes más pequeñas y manejables.

En el ejemplo, las velocidades son constantes. Podríamos haber hecho el cálculo sin saber acerca de la regla de la cadena. Sin embargo, a medida que las derivadas se vuelven más complicadas, es igualmente válida y mucho más poderosa.

Echemos un vistazo al ejemplo que mencionamos al principio. Tomamos la derivada de paso a paso, teniendo en cuenta que definimos y . Obtenemos:

Frecuentemente, te encontrarás con funciones que tienen una función interna dentro de la función interna, o donde la función interna es un producto. A veces, la composición es aún más complicada.

Cuando esto sucede, no te desesperes. Para tomar la derivada de una función compuesta, aplicamos las reglas en secuencia.

Sin embargo, es común cierta confusión inicial, y tomar la derivada es un arte que requiere práctica. Los ejercicios son un buen lugar para comenzar a dominar este tema.

Supongamos que te doy una función que se ve algo así:

y te pido que tomes la derivada de ella. ¿Qué haces?

Por ejemplo, podrías servirme la solución en bandeja, usando la regla del cociente:

Esta regla se puede derivar de la regla del producto de la siguiente manera:

Observamos que:

Usando este hecho, escribimos:

Y eso es de nuevo la regla del cociente.

Una pequeña observación: al tomar la derivada de podemos usar la regla de la cadena: . La función interna es y la función externa es .

El ejemplo más fundamental de la regla del cociente es al tomar la derivada de:

Como se mencionó anteriormente, podemos usar la regla de la cadena para encontrar la derivada. También podemos usar la regla del cociente.

La función numeradora sería entonces . La derivada de es cero, así que:

Este ejemplo tiene su propio nombre: la regla del recíproco.

Sea y . Al tomar la derivada del cociente, obtenemos:

El numerador se puede simplificar con reglas trigonométricas, ya que . Por lo tanto, obtenemos:

Pero, como hemos visto al hablar de funciones trigonométricas, . Así que acabamos de demostrar:

Esto también se puede escribir como , si no usamos identidades trigonométricas al simplificar.

Desmenucemos el siguiente polinomio:

Es una suma de las funciones y . Además, podría pensarse como un valor constante, , multiplicado por la función .

¿Cómo deberíamos diferenciar el polinomio? ¡Afortunadamente tenemos reglas de diferenciación!

Hay, por ejemplo, una regla de suma:

Funciona un poco como la multiplicación:

Dada una función , el cambio en la función está completamente determinado por los cambios en las funciones compuestas.

Dada una constante , también tenemos la regla

Al igual que en la multiplicación regular, puedes extraer un término:

Finalmente, la derivada de una constante es .

Esto tiene sentido a la luz de la interpretación geométrica de la derivada. Si dibujaras una línea tangente a una función constante como , la tangente no tendría ninguna pendiente.

Comencemos con la regla de la suma. Reorganiza los términos en la definición de la derivada y obtendrás:

Cuando , terminamos con:

Ta-da. Esa es la razón por la que la regla de la suma funciona.

Para encontrar nuestra segunda regla, haremos prácticamente lo mismo:

De nuevo, dejando que , obtenemos

La misma línea de razonamiento nos da la tercera regla. Si , obtendremos simplemente:

Y cuando , entonces el resultado es .

Podemos desplegar estas reglas en nuestro polinomio . Nos dan:

Dado que la regla de la suma y la regla del factor constante se sostienen, los matemáticos dicen que la diferenciación es una operación lineal.