Polinomios de Taylor

A veces, deseamos reescribir una función como un polinomio. Curiosamente, podemos hacerlo de manera que la función siga siendo exactamente la misma, al menos cerca de un punto.

Esto resulta útil para calcular ciertos límites, resolver ecuaciones complicadas y así sucesivamente.

Dado que es tan fácil integrar y diferenciar polinomios, este truco puede hacernos la vida considerablemente más fácil.

Lo probamos con . Nos gustaría encontrar un polinomio para alrededor de , para hacerlo un poco más fácil. es una función impar, así que nos quedamos con los polinomios impares, comenzando con .

Eso en realidad no está tan mal alrededor de cero, si solo estamos interesados en aproximar el valor. Sin embargo, añadiendo al polinomio hace que la aproximación de la convexidad sea mejor:

Podemos seguir añadiendo términos y hacer que el polinomio sea una mejor y mejor coincidencia.

Esta es la esencia de los polinomios de Maclaurin. A medida que agregamos más y más términos, el polinomio eventualmente coincidirá con la función.

A veces, la coincidencia se limita a un intervalo, pero para algunas funciones, obtenemos una coincidencia perfecta para todo el dominio.

El polinomio de Maclaurin es un caso especial de los polinomios de Taylor: mientras que los polinomios de Taylor describen la función desde las cercanías de cualquier punto , el polinomio de Maclaurin describe la función desde las cercanías de 0. Veremos los polinomios de Taylor en la próxima sección.

Entonces, ¿cómo encontramos el polinomio mágico?

Bueno, el primer término utiliza el valor de la función en para aproximar el valor de la función cerca de . El segundo término aproxima la pendiente, la derivada, usando la derivada en . El tercero aproxima la convexidad, la segunda derivada. Y así sucesivamente.

Todo sigue una fórmula:

Esta es una serie infinita. La llamamos la serie de Maclaurin de , y es exactamente igual a .
Si solo escribimos los primeros términos, entonces se llama polinomio de Maclaurin de grado , y es una aproximación de la función.

Este es el polinomio de Maclaurin de grado para :

Son solo dos términos en el ejemplo, pero, el valor de la función y la segunda derivada en es , por lo que son invisibles. ¡Aún así cuentan!

Cuando calculamos con polinomios de Maclaurin, elegimos el grado del polinomio dependiendo de su aplicación.

Esta es una forma compacta de escribir el polinomio de Maclaurin de grado para :

Si no estás familiarizado con ella, la extraña letra griega es el símbolo de suma, que suma los términos a la derecha para todos los entre y .

Dejando que vaya hasta el infinito, obtenemos la serie de Maclaurin para .

Aunque en general no es difícil calcular polinomios de Maclaurin, es un oficio que toma tiempo en grados más altos del polinomio.

Por lo tanto, estas atractivas y comunes series de Maclaurin valen la pena recordar:

La aproximación de un valor de función usando polinomios de Maclaurin empeora a medida que nos alejamos de .

En algunos casos, incluso la serie de Maclaurin infinita no se acerca al valor de la función si buscamos valores de función demasiado lejos de . Por ejemplo, la serie de Maclaurin para no se acerca al valor de la función si no está dentro de .

Pero no desesperes: lo que los polinomios de Maclaurin hacen alrededor de cero, los polinomios de Taylor pueden hacerlo en cualquier lugar.

Digamos que queremos aproximar una función alrededor de algún punto lejos de cero. Entonces, nos gustaría aproximar la función usando valores más cercanos a . Esto es lo que hacen los polinomios de Taylor.

La serie de Taylor alrededor de un punto para se ve así:

Nota que si ponemos , volvemos a la buena y vieja Maclaurin. Por lo tanto, ¡las series de Maclaurin son solo un caso especial de Taylor!

Cortando la serie después del término de grado , análogamente al caso de Maclaurin obtenemos un polinomio de Taylor de grado .

Ok, entonces, las series de Taylor no se ven tan bonitas como las de Maclaurin. Pero, mira: a medida que nos acercamos a , el valor de la función se acerca a . Y, cerca de , los términos se vuelven bastante pequeños, asegurando que el valor de la función domine sobre las derivadas. Eso parece bastante razonable, ¿verdad?

Con la notación sigma, el polinomio de Taylor de grado es:

Como con Maclaurin, reemplazando por da la serie de Taylor.

Encontremos el polinomio de Taylor de grado para alrededor de .

Como la derivada de la función exponencial es ella misma, calcular las derivadas es muy fácil. Entonces, alrededor de :

Algunos tipos de programas informáticos usan series de Taylor para resolver ecuaciones. Cuando no necesitamos la respuesta exacta, esta es la mejor opción para cálculos rápidos.

Seamos francos. Hacer desarrollos Taylor es algo tedioso. Es solo cuestión de usar la diferenciación una y otra vez. Luego usas las derivadas en la fórmula de Taylor, y voilà, ese es tu polinomio de Taylor.

Por ejemplo, si te piden encontrar el polinomio de Taylor de de grado siete, tendrías que diferenciar la función siete veces. Ten en cuenta que esta es una función amable, cuyas derivadas no se complican más a medida que avanzas. Si, sin embargo, estuvieras tratando con , las cosas rápidamente escalarían en complejidad.

A menos que la función sea excepcionalmente amable, no nos molestaremos en calcular un desarrollo Taylor con un gran número de términos. Tenemos que cortarla en algún lugar. ¿Pero dónde?

En la mayoría de las aplicaciones, no importa si nuestra aproximación es infinitamente precisa. Un ingeniero solo necesita saber un límite superior de error para la aproximación.

Si piensa que su construcción colapsará si las fuerzas externas exceden los N, puede dormir tranquilo si solo sabe que la fuerza es menor de N. ¿En cuanto al número preciso, a quién le importa?

Digamos que has encontrado el polinomio de Taylor de grado para la función alrededor de , que es . Por cierto, ya que es un polinomio de Taylor alrededor de , también es un polinomio de Maclaurin.

A continuación, aproximas calculando . Pero recuerda, el polinomio de Taylor es solo una aproximación.

Para encontrar el resto o el error, calcularías el tercer término del polinomio de Taylor, evaluado en algún punto . Aquí, es algún número entre y , el punto en el que estamos evaluando . La tercera derivada es , por lo que el resto resulta ser

.

Expresémoslo de manera más general. Para encontrar el resto de un polinomio de grado alrededor de , calcula el término de grado . En lugar de evaluar la derivada en , evalúala en . En símbolos, el resto resulta ser:

donde se encuentra entre y .

En ciencias de la computación, puedes encontrarte con el concepto de O Grande. Dos programas podrían devolver el mismo resultado. Sin embargo, el primero podría ser lento en comparación con el segundo, tomando mucho más tiempo.

Para comparar diferentes algoritmos, los científicos de la computación intentan estimar cuánto tiempo tarda un algoritmo en terminar. Un buen algoritmo tiene un tiempo de ejecución corto, y el tiempo de ejecución no aumenta mucho a medida que le das más datos de entrada al algoritmo.

Cuando los científicos de la computación dicen que un algoritmo tiene un tiempo de ejecución de , donde es el tamaño de la entrada, quieren decir que el tiempo de ejecución aumenta como la función , con alguna constante, cuando se hace realmente grande. Si el tiempo de ejecución es , aumenta como . Claramente, preferiríamos el primer caso. El básicamente describe el término dominante a medida que crece la entrada.

Los matemáticos también tienen esta noción de O Grande. En el mundo de las matemáticas, el término es un sustituto de alguna función que se comporta como . Al hacer el desarrollo Taylor, usaremos términos como , etc. La idea de O Grande es desalentadora al principio, pero todos estos O's son muy amigables. El O Grande es como una alfombra que oculta los términos restantes, para que tu expresión no se vea tan desordenada.

Digamos que eres demasiado perezoso para expandir más allá del término . Podrías esconder todo lo demás bajo la alfombra de O Grande, escribiendo:

O, si ni siquiera te molestas en expandir hasta el término , obtendrías:

A diferencia del O Grande en ciencias de la computación, el término dominante será el que tenga el exponente más pequeño.

Como es pequeño, la función es mayor que . Entonces, si tienes una función como , el término sería el dominante. En general, el término domina sobre los términos de orden superior. Por lo tanto, si una función es , donde , también es .