Secuencias
Secuencias y sus características
Una secuencia es una lista ordenada de elementos que tiene un comienzo pero no tiene fin. La secuencia más elemental es la secuencia de números enteros positivos . Llamamos términos a los elementos de una secuencia. El índice generalmente comienza en o en .
Hay tres formas de presentar una secuencia:
podemos dar una lista seguida de ..., si los términos siguen un patrón agradable,
podemos dar una fórmula para encontrar a partir de los términos anteriores,
podemos proporcionar una fórmula para como función de .
En cuanto a la notación, denotaremos una secuencia como .
Una secuencia muy famosa son los números de Fibonacci, definidos como:
Esta secuencia está documentada desde hace años y se puede encontrar en la naturaleza en todas partes, por ejemplo, en las formas de los huevos de gallina, las colas de camaleón y el brócoli romanesco.
Se dice que una secuencia es creciente si para todo tenemos que , y acotada superiormente si hay un número que es al menos tan grande como el mayor .
Del mismo modo, se dice que una secuencia es decreciente si para todo , , y acotada inferiormente si hay un número que es al menos tan pequeño como el mayor .
Una secuencia que es tanto acotada superior como inferiormente es simplemente acotada. Permanece obedientemente entre algún y algún .
Convergencia de secuencias
Si al dejar que tienda al infinito, la secuencia se acerca a algún número , decimos que es convergente, de lo contrario es divergente.
Algunas secuencias divergentes van hacia el infinito a medida que crece, algunas simplemente saltan, sin acercarse a ningún número en absoluto. Un ejemplo del segundo caso es:
Esta es una secuencia alternante, lo que significa que dos términos consecutivos siempre tienen signos opuestos. Salta para siempre entre y .
Todas las secuencias que son tanto acotadas superiormente y crecientes, como acotadas inferiormente y decrecientes, convergen. Esto es bastante intuitivo: una secuencia que crece para siempre pero no supera algún número necesita acercarse infinitamente a a medida que la secuencia se alarga.
Algunos ejemplos más
Secuencias divergentes
La secuencia anterior diverge hacia , mientras que la siguiente diverge hacia :
Secuencias convergentes
La secuencia anterior es creciente y acotada superiormente, por lo que converge:
Finalmente, esta secuencia es decreciente y acotada inferiormente, convergiendo hacia :
Series y Convergencia
Una secuencia para empezar
Aquí tenemos una secuencia:
Nota que el siguiente término es el último duplicado. Así, llamando al término -ésimo tenemos
Además, como esto aplica para todos los términos, podemos escribir:
Ten en cuenta que en este caso es . ¡Demuestre la corrección de la fórmula para los primeros términos!
Series y sumas parciales
Sea una secuencia, y sea la secuencia donde cada elemento se define como:
Entonces, definimos la serie como:
Eso debería parecer confuso al principio. Pero todo lo que decimos es que la serie es lo que obtenemos si sumamos todos los elementos en la secuencia . Entonces, la serie es en realidad una suma.
Los números son las sumas parciales de la serie:
Las sumas parciales se pueden escribir de manera más compacta como:
Un pequeño recordatorio: la gran letra griega en zigzag es el símbolo para una suma. El en la parte inferior junto con el en la parte superior significa: tomamos la suma de los términos con índice a de lo que está escrito después.
En el ejemplo que teníamos, las sumas parciales serían:
Una suma parcial de una serie es la suma de los primeros términos de la secuencia
Convergencia y divergencia de series
Entonces, una serie es la suma de una secuencia infinitamente larga. Pero, ¿cómo puede eso ser un número? Si juntamos infinitos elementos, ¿no suman siempre hasta el infinito?
Resulta que no es el caso. Alguna característica de magia oscura inherente a las matemáticas hace que algunas secuencias, aunque infinitas, sumen a un número.
Estas son series donde el límite:
existe. Las llamamos convergentes. Las series donde este límite se dispara hasta el infinito se llaman divergentes.
Lo que esto significa es que si la serie es convergente, podemos encontrar un límite superior para que la suma siempre permanezca por debajo de él, a medida que agregamos más y más términos de la secuencia .
Las series divergentes, por otro lado, siempre superarán cualquier límite, incluso si intentamos ser realmente generosos.
Ten en cuenta que incluso si la secuencia converge, eso no significa que la serie lo haga. De hecho, necesitamos que la secuencia converja hacia cero para que la serie converja, y ni siquiera esto es suficiente.
En las siguientes notas, revisaremos esto y otros dos métodos para determinar si una serie converge.
Series geométricas
Las series geométricas son series de la forma:
Los términos constituyen una secuencia geométrica, de modo que para algún .
Estas series están en un grupo de solo unos pocos tipos de series que podemos calcular, siempre que .
La serie para tamaños de papel
La serie es un sistema estandarizado para tamaños de papel, donde el más grande se llama . En , caben papeles de tamaño . En , caben , o , o y así sucesivamente.
Esto significa que podemos escribir:
La suma a la derecha es una serie geométrica, y es igual a . Lo demostraremos en un momento.
Entonces, si juntamos todos los papeles de tamaño , obtenemos:
¿Ingenioso, cierto?
Si esto no te convence, espera al sorprendente prueba visual a continuación.
¿Por qué la suma es igual a ?
Para una serie geométrica general:
el es la razón de la serie. En el caso del papel, .
Te mostraremos por qué. Empezamos con un truco, que nos llevará a la suma de la serie. Observa estas dos sumas:
La primera es una suma parcial de la serie.
Restando , observa que la mayoría de los términos se eliminan entre sí. Finalmente, obtenemos:
Reorganizando algunas cosas, obtenemos:
Esta es la fórmula para la suma parcial de una serie geométrica con términos.
A medida que dejamos que tienda al infinito, el desaparece (requerimos que ). Por lo tanto, cuando , nos da la suma de la serie:
Entonces, usando y en la fórmula anterior, vemos que la suma de todos los papeles más pequeños que es:
Límite del sumando
Pruebas de convergencia
El interés compuesto que has ganado desde que depositaste una cantidad en tu cuenta de ahorros se calcula con la fórmula:
donde es la tasa de interés dada como un porcentaje, y cuántas veces el banco calcula intereses, que generalmente es una vez por día.
¿Hay un límite para cuánto dinero podemos ganar a partir de una cantidad dada?
Podemos reformular la pregunta como: Si , ¿la serie converge?
La respuesta es no, y podemos probarlo utilizando ciertas técnicas conocidas como pruebas de convergencia.
El límite del sumando
Debido a su simplicidad, la primera prueba que generalmente empleamos para examinar la convergencia de una serie es el test del término.
Si los términos en la serie no se acercan a cero, la serie divergerá
Límite del sumando
Sea el -ésimo término en una secuencia. Ahora, si
entonces
divergerá.
Para ver por qué esto es cierto, imagina lo que sucedería si el límite no fuera cero, sino algún otro valor . Entonces, cuando , , y la suma de los términos se acercará a , donde es el número de términos que consideramos.
Dado que no hay límite para cuán grande puede ser , la suma se volverá infinitamente grande o pequeña, dependiendo del signo de . Por consiguiente, la serie diverge a .
Nota que el teorema establece una implicación y no una equivalencia. En otras palabras, solo porque este límite resulte ser cero no podemos concluir que la serie convergerá.
Volvamos a la fórmula para calcular el interés compuesto:
Dejando que , obtenemos la serie:
Aquí, es una constante y un pequeño porcentaje, por lo que . Por lo tanto, , el -ésimo término de la suma, tenderá a 0 con el crecimiento de .
Como consecuencia, el test del término es inconcluso, y necesitamos proceder a pruebas adicionales. Estudiaremos pruebas adicionales de convergencia en las próximas notas de la conferencia.
Ejemplo 1
La serie:
diverge ya que si aplicamos el test del término, vemos que:
Ejemplo 2
Si aplicamos el test del término a la serie:
entonces vemos que:
Dado que el test del término nos da el límite 0, no podemos sacar ninguna conclusión sobre la divergencia o convergencia, pero tenemos que emplear otras pruebas. Esta serie se llama la serie armónica y de hecho es divergente.
Criterio d'Alembert
Las cosas están empezando a volverse bastante abstractas ahora, así que vamos a dar un paso atrás y recapitular dónde estamos actualmente.
Una serie era simplemente esta suma con un número infinito de términos:
Una advertencia: no estamos escribiendo , porque no hay un último término . Así que literalmente queremos la parte "".
En cálculo, a menudo queremos saber si una serie tiene un valor particular. Quizás una serie tiene un valor de o . ¡Las series también pueden dispararse al infinito o al infinito negativo!
¿Por qué molestarse?
Las series aparecen todo el tiempo en el mundo real. Hay numerosas aplicaciones en economía, física - e incluso en el juego. Por ejemplo, la idea de una serie se puede usar para determinar si una apuesta es probable que pague o no.
Criterio d'Alembert
El criterio d'Alembert nos permite inferir si una serie tiene un valor particular, en lugar de o . En la mayoría de las aplicaciones del mundo real, estamos tratando con el primer tipo de serie.
El criterio d'Alembert compara dos términos consecutivos, y
Ok, entonces tienes una serie. Ahora mira la razón de dos términos consecutivos:
Si el límite es , entonces la serie es convergente. Cada término se hace más y más pequeño, así que la serie crecerá más y más lentamente. Finalmente, convergerá hacia algún valor.
Pero si el límite es , cada término se hace más y más grande. La serie explotará, creciendo más y más rápido. Esto significa que:
tiende hacia !
¿Pero qué pasa si el límite es ? No podemos decir. Como hemos visto antes:
es , mientras que:
asume algún valor. Así que el criterio d'Alembert no es como una teoría de todo, y necesitas usarlo con cuidado.
Ejemplo 1
Usando el criterio d'Alembert, podemos ver si la serie:
converge. Primero, calculamos el límite:
Por lo tanto, la serie converge según el criterio d'Alembert.
Ejemplo 2
Utiliza el criterio d'Alembert para determinar si la siguiente serie diverge o converge.
El criterio d'Alembert se realiza de la siguiente manera:
Luego multiplicamos tanto el numerador como el denominador por k:
Después de esto dividimos tanto el numerador como el denominador por k:
El límite resulta ser 1 y, por lo tanto, no podemos concluir si la serie converge o diverge.
Prueba p para series
Una serie es aquella en la que los términos consisten en dividido por el índice elevado a alguna potencia :
Un caso especial de una serie es cuando , que se conoce como la serie armónica y se ve así:
La serie armónica es un caso especial de una serie , y diverge a
Existe una técnica muy simple que podemos usar para determinar si una serie converge o diverge, llamada prueba .
Prueba
La serie:
converge si , de lo contrario diverge a .
Note que la serie armónica, para la cual , por lo tanto diverge a .
Ejemplo 1
Para determinar si la serie:
diverge o converge, primero necesitamos comparar el sumando con:
Esto es cierto ya que si hacemos el denominador más pequeño, las fracciones se vuelven más grandes. Por lo tanto, obtenemos:
Según la prueba , entonces:
converge. Dado que esta serie es siempre mayor o igual a nuestra serie, nuestra serie no puede diverger, por lo que debe converger.
Ejemplo 2
La serie:
diverge ya que, comparamos nuestro sumando con:
Por lo tanto, tenemos lo siguiente:
Dado que la serie:
es siempre menor o igual a nuestra serie, nuestra serie debe diverger ya que:
diverge según la prueba .
