Derivadas de funciones exponenciales
La función exponencial tiene una propiedad muy útil: es su propia derivada. Veremos cómo podemos usar esto para diferenciar cualquier función exponencial.
Como vimos en la introducción, todas las funciones exponenciales tienen derivadas exponenciales. La derivada y la función también tienen la misma base. La derivada de cualquier función diferencial se ve así:
La diferencia entre las derivadas de las funciones exponenciales es la constante que aparece. Para , .
Las funciones del tipo aparecen en todas partes, ya que son muy prácticas de manejar. Que sea su propia derivada también implica que es su propia antiderivada. La practicidad de esto difícilmente puede ser sobreestimada.
Deriving the derivative of
Soon we will have a look at how we can transform to and subsequently differentiate it. First, we derive the derivative of . This can be done by using a nifty standard limit and the definition of the derivative.
If you feel shaky on properties of exponential functions, now is a good time to quickly review them.
So let's get to it. The derivative of is derived as follows:
Notice that has no in it. Thus, we can move it to outside of the limit. You might recognize the remaining standard limit:
To conclude:
La derivada de
Entonces, ¿qué es esa constante que aparece al diferenciar ?
Finalmente, ha llegado el momento de revelar su verdadera identidad. El proviene del hecho de que podemos escribir:
Ahora, observa que en el exponente, tenemos una función interna , donde es una constante.
Por lo tanto, utilizando la regla de la cadena, la derivada interna que aparece es simplemente , y obtenemos:
Ahí está: , y:
Derivadas de funciones logarítmicas
Antiderivadas de
Al estudiar la regla de potencia, vimos que:
Aplicando nuestro conocimiento sobre antiderivadas, vemos que para , tenemos:
Esto funciona perfectamente bien para todos los valores de excepto uno, específicamente , lo que produciría un denominador con valor 0.
Por un lado, tiene sentido que este caso rompa la forma general, recordando que la derivada de cualquier constante es cero, y que .
Por otro lado, plantea una pregunta intrigante. ¿Cuál será una antiderivada de ?
La respuesta puede sorprender, pero utilizando la diferenciación implícita, podemos demostrar que es , el logaritmo natural de , lo que necesitamos diferenciar para obtener .
La derivada de logaritmos con cualquier base
La derivada de funciones logarítmicas
Sea . Entonces , y por lo tanto:
Reorganizando la expresión y usando da como resultado:
La derivada del logaritmo natural
Hemos demostrado la derivada de la función logarítmica de cualquier base . Ahora examinemos qué sucede cuando tenemos el número de Euler como base ().
En consecuencia, hemos resuelto el misterio de encontrar la función cuya derivada es :
