Funciones inversas

En esta nota, introduciremos un montón de términos importantes. Así que abróchate el cinturón de seguridad, ¡y aquí vamos!

Una función no es solo una expresión algebraica, como . Por ejemplo, para todos los números reales no es lo mismo que para . Las reglas no son idénticas. Necesitamos un nuevo término para describir qué distingue a de .


Los valores de que podemos introducir en la función constituyen el dominio. En el ejemplo anterior, y tienen dominios y . Por lo tanto, no son idénticos.

Cuando alimentamos a la función con valores del dominio, nos dará el rango. Por ejemplo, tiene todos los números positivos como su rango, y tiene rango . Los valores en el rango son parte de un "conjunto" más grande, el codominio. En cálculo, generalmente asumimos que el codominio consiste en todos los números reales, si esto no es el caso generalmente lo declaramos como una propiedad de la función.

Comencemos con la idea de inyectividad. Si una función devuelve dos salidas diferentes, entonces debemos haberle introducido dos entradas diferentes. Una función es inyectiva si dos elementos distintos en el dominio se emparejan con dos elementos distintos en el codominio.

Para verificar si una función es inyectiva, comienza dibujando su gráfico. Si puedes dibujar una línea horizontal que intersecte el gráfico en más de un punto, la función no es inyectiva.

Los matemáticos también hablan de sobreyectividad. Si, al alimentar la función con todos los valores del dominio, la función devuelve todos los valores en el codominio, la función es sobreyectiva. Entonces, una función es sobreyectiva si su rango es el codominio.

Ahora, el último (este no es tan malo, ¡así que aguanta!). Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. En la imagen de abajo, cada punto en el conjunto de la izquierda está asociado con otro punto en el conjunto de la derecha.

Aquí hay un ejemplo que te hará pensar.

La función no es ni inyectiva ni sobreyectiva. solo puede asumir valores positivos, ¿verdad? Además, ya que , tampoco puede ser inyectiva.

Si establecemos el codominio en todos los valores positivos, se convierte en sobreyectiva. Sin embargo, todavía no es inyectiva.

Si restringimos el dominio a todos los valores positivos, se convierte en inyectiva. Si , a cada valor se le asigna un valor único, .

Finalmente, si solo toma entradas positivas y su codominio consiste en todos los valores positivos, es biyectiva.

Algunas cantidades nunca dejan de aumentar o disminuir. Aunque a veces parece que el tiempo pasa más lento de lo habitual, o incluso se detiene, sabemos que en realidad no lo hace.

En cambio, sigue avanzando, aumentando constantemente al mismo ritmo. Al menos en la forma en que los humanos interactuamos con el tiempo.

Una función monótona es aquella que nunca rompe la tendencia de subir o bajar. Generalmente permitimos que se mantenga constante, pero si no, decimos que es estrictamente monótona.

Para funciones diferenciables, la monotonía se puede ver en términos de derivadas no negativas o no positivas.

Tenga en cuenta que ambas definiciones permiten la igualdad . Por lo tanto, la función constante es tanto monótonamente creciente como monótonamente decreciente.

Un ejemplo de una función estrictamente creciente es la función exponencial:

Una propiedad compartida de todas las funciones estrictamente monótonas es que son inyectivas.

Una función puede ser pensada como una caja negra. Introduce un valor, y te devolverá otro valor único. Quizás nos gustaría saber qué valor introdujimos en la función.

Quieres hacerte rico, para poder conducir un Cadillac e ir a Bali dos veces al año.

Entonces, creas una función para tus ahorros totales durante un año. Toma tus ahorros mensuales como entrada, y devuelve el total acumulado . De esa manera, puedes ver el efecto del interés compuesto.

Ahora, si quieres que tus ahorros totales sean de dólares al final del año, debes calcular cuánto ahorrar cada mes. Esto implica construir una función inversa. ¡Saber un poco de matemáticas da sus frutos!

La función inversa de , denotada por , toma la salida de y devuelve el valor original que introdujimos en . De cierta manera, deshace el efecto de la función .

Sin embargo, hay algunas advertencias.

Considere . Dos valores de pueden producir la misma salida. Entonces, si introducimos en , devolverá . Luego, pedimos a nuestra función inversa que devuelva el valor original de . Pero la función inversa no sabe si devolver o , ya que también es igual a . La función inversa no puede devolver dos o más valores; ¡entonces no sería una función!

En la práctica, esto significa que la función debe ser biyectiva, lo que significa que tenemos esta situación:

Para dibujar el gráfico de una función inversa, dibuje la línea . Luego, dibuje la función inversa, así:

En general, y son simétricas alrededor de la línea .

Probemos a dibujar la función inversa de . Primero, cortamos el gráfico en y . Luego nos queda una función biyectiva, que tiene una inversa. Utilizando la misma técnica que antes, obtendrías algo así: