Técnicas de integración

La integración es una artesanía. Algunos giros y vueltas que quizás necesites tatuar en el interior de tus párpados, mientras que otros requieren que desarrolles cierta intuición. Afortunadamente, hay guías incluso en la jungla de la intuición. Estamos aquí para entregarte la liana mientras te lanzas a la naturaleza.

Esta sección está dedicada a algunos trucos y métodos muy útiles que necesitarás allí afuera. El primero es una bestia versátil llamada cambio de variable o sustitución en integración.

El cambio de variable consiste en mover la integral a otro sistema de coordenadas donde parezca más sencilla. Queremos transformarla para que la integral sea lo más fácil posible de resolver. Luego, la resolvemos en su forma disfrazada, y después volvemos al sistema con el que empezamos.

Basta de hablar, hagámoslo. El cambio de variable se basa en la regla de la cadena. El teorema puede parecer un poco intimidante al principio, pero a medida que avances en los ejemplos, compáralo con el teorema para obtener una sensación de él.

Mira el teorema. Dice: puedes reemplazar el por alguna función en el integrando, siempre y cuando te asegures de agregar el y cambiar los límites de integración. Repito, no olvides modificar los límites en consecuencia al hacer la sustitución.

No te preocupes si estás confundido en este punto. Ahora mostraremos algunos ejemplos.

Problema:

Solución:

Aquí, identificamos el integrando como algo de la forma que deseamos simplificar.

Para hacer esto, introducimos . Esta es el cambio de variables. Llamamos a la nueva variable para no confundirnos con el espacio en el que estamos.

Con definida de esta manera, tomamos la derivada con respecto a :

De manera algo informal, ahora movemos el al otro lado, obteniendo:

Esto significa que podemos reemplazar en el integrando por

Así el integrando y el diferencial se transforman con :

¡Eso es realmente bonito! En general, queremos elegir el camnio de esta manera, para que los términos se eliminen entre sí a medida que introducimos la sustitución en la integral.

Pero, ¿olvidamos algo?

Sí, olvidamos los límites de integración. Estableciendo da , y de igual manera si entonces .

Finalmente, la sustitución produce:

Problema:

Solución:

Podemos usar la siguiente sustitución para resolver la integral:

los límites de la integral son entonces y , la integral se convierte en:

evaluando en los límites obtenemos:

Problema:

Solución:

Podemos usar el cambio siguiente para resolver la integral:

nota que no hay límites de la integral, por lo que la integral simplemente se convierte en:

cambiando de nuevo obtenemos:

Las sustituciones trigonométricas son una subcategoría de los cambios de variables, donde sustituimos una variable por una expresión trigonométrica, o viceversa.

Repasaremos tres casos comunes en los que este tipo de sustituciones nos salva.

Supongamos que nos enfrentamos a una integral como esta:

Si o es un entero impar, usamos la sustitución trigonométrica. Tenemos . Así, si con (algún entero), podemos reescribir la integral como:

Entonces, dejar hará el truco. Nota que el desaparecerá ya que .
Si en cambio, es impar, podemos usar de la misma manera .

Calculemos la integral:

Primero, reescribimos:

Entonces, nuestra integral se puede reescribir como:

Ahora, realizamos el siguiente cambio de variables:

esto transforma nuestra integral a:

Supongamos que tenemos:

¿Entonces qué? No podemos usar el último truco ya que es par. Sin embargo, una identidad trigonométrica ingeniosa que quizás conozcas hará el truco.

Usando que , reorganizamos un poco. Esto nos da:

Esto es bueno, porque no es difícil de integrar.

De manera similar, cambiamos por obtenemos

Es muy aconcejado memorizar ya sea la técnica de diferenciación o las expresiones anteriores, ya que tienden a aparecer en todas partes.

Ahora evaluemos la integral:

En el primer paso, con la ayuda de la fórmula para el ángulo doble, podemos eliminar el exponente de , así:

Ahora, nuestra integral se convierte en:

Hay tres casos en los que las sustituciones trigonométricas inversas son excelentes: integrales con o .

Caso 1

Si la integral contiene , , entonces usa .
Ten en cuenta que esto solo tiene sentido si . Haciendo la sustitución, obtenemos:

Si necesitamos las otras funciones trigonométricas de , podemos derivarlas de un triángulo rectángulo correspondiente a la sustitución realizada.

Esto da:

y

Caso 2

Si la integral contiene o , con , usamos .

Las otras funciones trigonométricas de se dan por un triángulo similar como en el primer caso:

Entonces:

y:

Caso 3

Si la integral contiene donde , podemos usar .

Esta sustitución requiere un cuidado especial. Aunque:

no siempre podemos eliminar el valor absoluto del tangente. Los otros casos anteriores no tienen tales señales de advertencia parpadeando sobre ellos.

Sin embargo, observa que es real si o .

Si , entonces:

y .

Si , entonces

y .

El primer caso da , el segundo .

Ya sé, eso fue mucho. Pero toma unos respiraciones y piénsalo de nuevo, mirando las funciones trigonométricas y qué sustituciones hicimos.

En este último ejemplo, evaluaremos la integral

Podemos intuir una sustitución trigonométrica con o , debido al paréntesis en el denominador, a saber:

La oportunidad que vemos es que podemos, para alguna constante , hacer una sustitución para que:

La primera vez que ves esto, probablemente parece muy rebuscado, pero es un truco ingenioso que aprenderás a encontrar fácilmente después de un poco de práctica.

Entonces, realizamos el siguiente cambio de variables

Luego, nuestra integral se convierte en

Mirando hacia atrás al primer triángulo, nuestra respuesta se convierte en

Al aprender sobre derivadas, vimos que los productos de funciones complican un poco las cosas, y debemos recurrir a la regla del producto al diferenciar.

Lo mismo es cierto para la integración. Para integrar un producto de dos funciones, el método que a menudo podemos usar se llama integración por partes. De hecho, esta técnica puede verse como el procedimiento inverso de la regla del producto para la diferenciación.

Supongamos que y son dos funciones diferenciables. Entonces tenemos:

Ahora, si integramos ambos lados con respecto a , obtenemos:

que podemos reorganizar como:

Esta fórmula es la base del método de integración por partes, a menudo escrita así:

o en una forma condensada como:

Ante una integral de un producto de dos funciones, imaginamos el integrando como el producto de y en la integral izquierda. Luego podemos resolverlo evaluando la expresión en el lado derecho.

Aunque el integrando todavía consiste en un producto de funciones, a menudo podemos elegir y de manera inteligente para simplificar el proceso de integración:

Dada la siguiente integral:

elegimos representar una de las funciones por , y la otra junto con por . Por ejemplo, y . Aquí, queremos que tenga antiderivadas simples, ya que primero tendremos que integrarlo para obtener , y luego una vez más según la fórmula.

Hay dos reglas generales con respecto a la elección de y , que pueden ayudar a hacer la integración lo más sencilla posible:

Siempre recuerda que y son ambiguas, y eres libre de reorganizar algebraicamente el integrando y definir las dos funciones como te convengan.

En algunos casos, una aplicación de la integración por partes no es suficiente, y podríamos vernos obligados a aplicarla varias veces en serie antes de que se resuelva la integral.

Para ilustrar esta técnica, calcularemos:

Recordemos la fórmula de integración por partes:

Nuestra integral es un producto de una exponencial y un polinomio, así que definimos:

Entonces obtenemos:

En este ejemplo, queremos calcular:

Esto es un producto de un polinomio y una función trigonométrica. Usemos la fórmula para integración por partes:

definamos

Ahora usamos esto para resolver la integral con integración por partes:

En el último término, tenemos una integral de un polinomio por una función trigonométrica, así que tenemos que usar integración por partes una vez más:

Finalmente, nuestra solución es:

En algunos casos, es posible que desees integrar una función como , donde tanto como son polinomios.

Existe un procedimiento estandarizado para abordar este tipo de problemas. La verdad sea dicha, integrar este tipo de funciones puede ser bastante aburrido.

En cuanto a la descomposición en fracciones simples, aquí hay algunas pautas comunes:

Verás a qué nos referimos en un momento, mientras trabajamos en algunos ejemplos.

Para ver cómo se usa la integración por partes, considere la integral:

Primero, queremos simplificar la función dentro de la integral:

Luego, queremos encontrar constantes y tales que podamos escribir las fracciones como:

Comparando ambos lados de la ecuación, vemos que y deben satisfacer:

Resolviendo este sistema de ecuaciones para y , obtenemos:

Ahora, podemos transformar nuestra integral de la siguiente manera:

En este ejemplo, queremos evaluar la integral:

usando fracciones simples. Esta fracción se puede simplificar como:

Comparando ambos lados de la ecuación, vemos que las constantes , y deben satisfacer:

Resolviendo esto, obtenemos:

Ahora, podemos transformar nuestra integral de la siguiente manera: