Regla de L'Hôpital para límites
Hasta ahora, solo hemos podido calcular los tipos de límites más básicos. Y con eso, me refiero a límites que se pueden resolver sustituyendo valores de funciones o después de un poco de trabajo algebraico y ayuda de límites estándar.
Hay un par de límites que, a pesar de haber sido sometidos a tu tortura algebraica, no se resuelven. Estos son los temidos límites y .
En algunos casos, puedes usar un truco llamado regla de L'Hôpital.
Ok, en realidad fue descubierto por el matemático suizo Johann Bernoulli. Sin embargo, un rico francés llamado L'Hôpital pagó a Bernoulli para que revelara todos sus descubrimientos matemáticos. Por lo tanto, la regla lleva el nombre de L'Hôpital.
De hecho, Bernoulli también fue el primero en descubrir el número , comúnmente llamado número de Euler. ¡Bernoulli debería recibir más elogios!
La regla de L'Hôpital dice que los límites y se pueden calcular diferenciando el numerador y el denominador, asumiendo que son diferenciables.
Típicamente agregas la pequeña H para significar que has usado la regla de L'Hôpital. Para ver cómo funciona esto, evaluemos el siguiente límite:
Aplicando la regla de L'Hôpital una vez, obtenemos:
Luego, haciéndolo dos veces más, obtenemos:
Para llegar al resultado correcto, tuvimos que usar la regla de L'Hôpital un total de tres veces aquí. Como puedes ver en el gráfico, la función en efecto se acerca a .
Desarrollo Taylor para límites
Básicamente, hay tres tipos de límites:
Límites amigables: Nada extraño sucede. Simplemente sustituye algunos valores grandes de y ve qué pasa. Llegarás allí por fuerza bruta o utilizando límites estándar.
Límites : Usa la regla de l'Hôpital.
Límites : Usa la regla de l'Hôpital.
Pero la regla de l'Hôpital no es necesariamente tu mejor opción. Podrías tener que calcular una derivada monstruosa, y podrías terminar con una situación de nuevamente. Si es así, tienes que hacer el asunto de l'Hôpital otra vez. Y tal vez otra vez. Continúa hasta que exprimas un denominador no cero. Cada vez que uses l'Hôpital, las derivadas podrían complicarse aún más.
Sin embargo, hay una mejor solución. Sé que parece un poco descabellado, pero podemos usar el desarrollo Taylor para tratar ciertos límites de también.
Por ejemplo, echa un vistazo a este límite:
Puedes reconocer esta función de la sección sobre la regla de l'Hôpital. Allí, tuvimos que usar la regla de l'Hôpital tres veces para obtener una respuesta.
Usando el desarrollo Taylor del numerador y del denominador, obtenemos:
La última expresión tiende a cuando . Y listo. Para ser justos, esto también implicó un trabajo bastante considerable. Algunos límites son desagradables, independientemente de los métodos que uses. Pero hubiera sido más difícil usando l'Hôpital.
De todos modos, observa cómo los términos de orden inferior se cancelan y los términos de orden superior a desaparecen. Satisfactorio, ¿verdad?
