El teorema del valor medio
El teorema del valor medio establece que para una curva que se extiende de un punto a otro, habrá al menos un punto en la curva donde su línea tangente es paralela a la línea recta entre los puntos finales.
Como interpretación visual, imagina a una excursionista subiendo una montaña.
En al menos un punto a lo largo del camino, la pendiente del terreno será paralela al cable tenso de una tirolina que va desde la parte inferior de la montaña hasta la cima.
La línea recta que conecta dos puntos en un gráfico se llama secante, y la pendiente de la secante se da por el aumento sobre la corrida de la función entre los puntos. Como sabemos ahora, la pendiente de la tangente de una función se da por la derivada de la función.
Por lo tanto, podemos definir el teorema del valor medio de una manera más formal:
Sea una función de valor real. Si es continua en y diferenciable en , entonces existe un punto en tal que:
Sin las condiciones de continuidad y diferenciabilidad, no podemos estar seguros de que el punto existirá. Para ver por qué, volvamos a la excursionista.
La superficie de la montaña no es tan suave como imaginábamos antes, sino que contiene solo bordes afilados.
Esto violaría el criterio de ser una función diferenciable. Aunque potencialmente podría haber un punto con las propiedades de , no podemos concluir que deba existir. La misma inconclusión ocurre si la función no es continua en el intervalo.
¿Qué es el teorema de Rolle?
El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio para el cual el valor de la función es el mismo para los dos puntos finales.
Sea una función de valor real. Si es continua en y diferenciable en con , entonces existe un punto en tal que
