Integrales

El teorema fundamental del cálculo tiene un nombre grandioso. Quiero decir, tiene la palabra "fundamental" en su nombre.

En el mundo de las matemáticas, los teoremas más fundamentales son ciudadanos de primera clase. Los siguientes en el orden de importancia son los teoremas con nombres, como el Teorema del valor medio. Luego están los teoremas sin nombre, que se mencionan como "teorema X.X" en los libros de texto. Finalmente, tenemos los corolarios. Los corolarios son marginados sociales, y ni siquiera se les otorgan los derechos más básicos.

Podrías estar impresionado con el teorema fundamental del cálculo, ya que ha sido coronado con el epíteto de "fundamental". Pero es un poco decepcionante. Al igual que podrías estar impresionado por alguien con un coche caro y un reloj, pero luego descubres que esta persona no era tan especial. Descubrirás que el teorema fundamental del cálculo es un poco decepcionante.

Ok, esto es lo que dice el teorema fundamental del cálculo:

Si es continua en y:

entonces es diferenciable y tiene la derivada . Eso es todo. También puedes pensar en como describiendo el área hasta el punto , así. Entonces, el teorema fundamental del cálculo relaciona el área bajo la gráfica con el valor de la función.

Pero hay en realidad un corolario importante para el teorema fundamental del cálculo. Resulta que puedes calcular una integral como la diferencia en . Esto es lo que quiero decir.

Este corolario se utiliza todo el tiempo. Así que el orden jerárquico en el mundo de las matemáticas no refleja realmente la utilidad de cada teorema.

La integral es el área bajo el gráfico. Al final de estas notas de clase, verás por qué. También sabrás de dónde viene el símbolo . Pero para aprender, tienes que trabajar por ello. Así que empezaremos haciendo un poco de ciclismo.

Vamos a pedalear montaña arriba.

Empezamos entusiasmados, pero a medida que comenzamos la subida, se acumula el ácido láctico y reducimos la velocidad gradualmente. En la cima pedaleamos despacio, tranquilo y fácil. A medida que comenzamos a rodar cuesta abajo, dejamos que la velocidad aumente gradualmente de nuevo.

El gráfico de velocidad-tiempo para este paseo en bicicleta podría verse así:

Aquí, es la velocidad y es el tiempo.

Digamos que queremos saber qué tan lejos hemos pedaleado, y todo lo que tenemos es este gráfico, como podrías estar familiarizado:

con la distancia recorrida, así que para este gráfico amigable es solo cuestión de sumar áreas de triángulos y rectángulos:

Sumando estas áreas fácilmente calculadas obtenemos la distancia total que hemos pedaleado.

Supongamos que no queremos conformarnos con cambiar nuestra velocidad linealmente. Entonces obtenemos algún gráfico curvo de velocidad bajo el cual necesitamos calcular el área.

Al no tener métodos para calcular áreas de objetos irregulares y desobedientes, nuestra mejor apuesta es reducir la curva a algo que podamos calcular fácilmente. Por ejemplo, rectángulos:

En este ejemplo, dividimos el dominio de la función en pequeños intervalos . La altura del rectángulo para cada intervalo se toma como el valor de la función en su punto medio.

Entonces, llamando a la altura del primer rectángulo , su área es . El siguiente tiene el área , y así sucesivamente hasta el último, con el área .

Para obtener el área bajo el gráfico, toma la suma de todos los rectángulos:

Elegir el punto medio de cada intervalo para definir la altura es solo una elección arbitraria. Podríamos haber elegido cualquier punto en el intervalo. Otras formas de elegir también aproximarán la función.

A medida que sumamos todos los rectángulos, nos desviaremos de la respuesta exacta.

Sin embargo, al hacer más y más pequeño, la aproximación mejora cada vez más:

...hasta que hacemos los rectángulos infinitamente delgados, reduciendo el a un diferencial diminuto . Entonces, la suma de los rectángulos se convierte exactamente en lo mismo que el área bajo la curva. Lo que tenemos ya no es una suma, sino una integral, denotada por una alargada.

Sea el valor exacto en el intervalo actual. Sea el final del dominio estudiado . Entonces, la integral es:

Una definición rigurosa seguirá en la siguiente nota.

Algunos gráficos se sumergen debajo del eje . Cuando queremos encontrar el área bajo el gráfico para tal curva, restamos el área que se encuentra debajo de del resto. Esto es análogo a decir que las alturas de los rectángulos infinitamente delgados son negativas para estos intervalos.

Esto es la esencia del teorema del valor medio para integrales. Simplemente dice que podemos encontrar un de tal manera que el área del rectángulo sea la misma que el área bajo el gráfico.

La función tiene que ser continua para que sea válido el teorema.

Formalmente:

Bien, parece razonable, pero ¿por qué nos molestamos en hacer un teorema de algo que simplemente parece obvio? Bueno, es una parte importante de la prueba de uno de los teoremas más centrales de este curso: el teorema fundamental del cálculo. Este teorema se presentará en la siguiente nota de clase.

Por diversión, veamos dónde encontramos el valor de que satisface el teorema para:

en [0, 3].
Integrando , obtenemos:

En nuestro caso, la longitud del intervalo es . ¿Qué valor de poner en , para obtener ?

Vemos que necesitamos . Si dejamos , hemos terminado.

Anteriormente hemos cubierto el concepto de integrales indefinidas y visto cómo se relacionan con las antiderivadas. Como sugiere el nombre, también existe algo llamado integrales definidas.

En la sección anterior, discutimos el área bajo una curva de función. Ahora veremos cómo la integral definida conecta el área bajo la curva y la integral indefinida.

Digamos que tenemos una función y la forma de la integral indefinida de :

donde es una antiderivada de , y C es una constante.

La integral definida se define utilizando la indefinida de la siguiente manera:

Aquí, se llama integrando, y nos indica que es la variable de integración con respecto a la cual tomamos la antiderivada. y se llaman límites de integración, donde es el límite inferior y el límite superior.

Según esta definición, debemos ser capaces de encontrar antiderivadas de entre y para que sea integrable allí. Sin embargo, no necesita ser la misma antiderivada en todo el intervalo. Como veremos más adelante, podemos dividir la integral en subintervalos más cortos y sumar las integrales de esos.

En palabras, la integral definida, o simplemente la integral, de de a es la integral indefinida evaluada en , menos la integral indefinida evaluada en . Cabe destacar que, debido a la resta, la constante se cancela y no es necesario incluirla en el cál

Según esta definición, debemos ser capaces de encontrar antiderivadas de entre y para que sea integrable allí. Sin embargo, no tiene que ser la misma antiderivada en todo el intervalo. Como veremos más adelante, podemos dividir la integral en subintervalos más cortos y sumar las integrales de esos.

En palabras, la integral definida, o simplemente la integral, de desde hasta es la integral indefinida evaluada en , menos la integral indefinida evaluada en . Observa que, debido a la resta, la constante se cancela y no es necesario incluirla en el cálculo.

Resulta que este procedimiento calcula exactamente el área entre el eje y la curva de la función, donde el área por encima del eje es positiva, y el área por debajo se considera negativa.

Para ver qué significa esto en la práctica, echemos un vistazo al ejemplo más simple:

Sea , y consideremos el área bajo el gráfico desde hasta . Esto será simplemente un cuadrado con lado de y un área de .

Sabemos que la integral indefinida de es , así que veamos qué sucede cuando resolvemos el mismo problema usando integrales definidas:

justo como esperábamos.

Hay ciertas propiedades de las integrales que nos ayudan a calcularlas eficazmente:

Propiedades de las integrales

1. Invertir los límites cambia el signo de la integral:

2. Las integrales dependen linealmente del integrando:
Si y son constantes, entonces:

3. La desigualdad triangular de se extiende a las integrales:
Si , entonces:

4. La integral puede dividirse en subintervalos:

5. La integral de una función par en un intervalo simétrico sobre 0 es igual al doble de la integral del lado positivo del intervalo:
Si , entonces:

6. La integral de una función impar en un intervalo simétrico sobre 0 es igual a 0:
Si , entonces

7. Las integrales preservan desigualdades:
Si y , entonces