Continuidad

Como una forma informal pero intuitiva de describir la continuidad, podemos pensar en una función continua como una función que se puede dibujar sin levantar el lápiz.

Esto no pinta toda la imagen, y también debemos recordar que no todas las figuras que podemos dibujar sin levantar el lápiz son funciones. Sin embargo, este criterio puede ayudarnos a determinar qué puntos hacen que una función sea discontinua.

Sin embargo, para poner el concepto de continuidad en el marco riguroso del cálculo, debemos establecer una definición más formal:

Para que se cumpla el segundo criterio, tenemos que debe acercarse al mismo valor cuando se acerca a tanto por arriba como por abajo.

Además, para cumplir con los otros dos, este número debe ser el valor de la función en , el cual entonces tiene que estar definido.


Para ver cómo se ve la continuidad en puntos en la práctica, veamos un par de ejemplos:

Observa la función:

en el punto .

Dado que la división no está definida con 0 en el denominador, no está definida. Además, considerando que:

mientras:

No existe límite de a medida que se acerca a .

Como consecuencia, ninguno de los tres criterios se cumple, y concluimos que es discontinua en . Como nota al margen, la función es continua para todos los demás valores de .

Ahora veamos una función diferente, en un punto diferente :

Claramente, está definida en y por lo tanto se cumple el primer criterio. Sin embargo, aquí también los límites de la función son diferentes a medida que se acerca a desde arriba y desde abajo.


Por lo tanto,

no existe, lo que rompe el segundo de los requisitos y hace que sea discontinua en .

Es hora de que ahora miremos una función que es continua en todos los puntos en :

Consideraremos la función en el punto , donde la continuidad podría no ser obvia.

Primero, , por lo que la función está definida para este punto.

En segundo lugar:

nos da la existencia del límite en el punto.

Por último, el límite no solo existe en el punto, sino que también resulta ser el mismo que el valor de la función:

Con los tres criterios satisfechos, concluimos que es continua en .

Una función es continua en un punto si el límite cuando se acerca a coincide con el valor de la función, es decir:

Supongamos que la función es continua en . Bueno, ¿y qué?

La mayoría de los teoremas sobre funciones continuas requieren que la función sea continua en un intervalo.

El hecho de que sea continua en no es tan útil por sí solo. Sin embargo, es parte de la definición de continuidad en un intervalo.

La función es continua, en su conjunto, si es continua en todos los puntos en los que está definida.

Ahora nos volvemos a la pregunta de cuales funciones son continuas.

Las funciones básicas son todas continuas. Incluyen:

Como regla general, cualquier cosa que hagas con las funciones anteriores dará como resultado una función continua.

Por mucho que intentes - sumando, dividiendo, doblando y retorciendo - no podrás armar una función discontinua.

Ten en cuenta que hay una excepción a la regla anterior, y es cuando tenemos una función que es cero en algún lugar del eje , entonces esa función causará una discontinuidad en ese .

Resulta que:

son todas continuas.

Utilizando estas reglas, puedes decir que una función monstruosa como

es continua.

Las funciones continuas son prácticas. Muchos teoremas útiles para manejar funciones requieren que la función sea continua, de lo contrario, puede dar algunos resultados bastante extraños.

Por lo tanto, si una función no está definida en un punto, a veces deseamos modificarla para que se vuelva continua. La función modificada no es la misma, pero para fines prácticos puede no importar.

Como ejemplo, volvamos a visitar a un amigo:

Esta función es continua en todas partes, excepto en .

Podemos extender la definición de la función para ser:

Entonces, es continua, ¡y somos libres de usar, por ejemplo, el teorema del valor intermedio y el teorema de Weierstrass al tratar con la función!

Mira este gráfico de función:

Digamos que la función solo está definida en el intervalo cerrado .

Al mirar el gráfico, concluimos que la función tiene un valor máximo de y un valor mínimo de .

Dicho de otra manera, existe un valor máximo y un valor mínimo.

Los prerrequisitos son importantes. No son solo algunos detalles técnicos que algún matemático inventó para fastidiar a los estudiantes universitarios.

Primero, el intervalo debe ser cerrado. Toma la función , definida en el intervalo abierto .

No hay ningún máximo, ya que siempre podemos avanzar un pequeño paso a la derecha para aumentar el valor de la función. De manera similar, no hay ningún mínimo.

Segundo, la función debe ser continua. Saluda a nuestro viejo amigo

Incluso si consideramos un intervalo cerrado, como , no hay ningún máximo ni ningún mínimo.

El gráfico de la función se vuelve un poco loco alrededor de , ya que

En este curso, tratamos principalmente con funciones que son continuas en casi todo su dominio (es decir, sus valores de entrada permitidos).

Hoy, vamos a ver un teorema muy interesante que solo se puede usar para funciones continuas. Se llama el teorema del valor intermedio, y en términos informales, dice:

Si es menor que , y es mayor que , entonces en algún lugar del intervalo .

Intentar con un solo trazo de bolígrafo ir desde hasta en el gráfico a continuación podría convencerlo de este hecho.

Digamos que tenemos una función como esta:

¿Dónde podemos encontrar sus raíces? O, dicho de otra manera, ¿dónde corta su gráfico al eje ?

Con la ayuda del teorema del valor intermedio, podemos responder a esta pregunta. Solo use .

Tal vez hayas escuchado que no hay un método analítico eficiente para resolver polinomios de grado superior. Tan pronto como aparece un o algo incluso peor en un polinomio, entonces necesitamos usar nuestro cajón especial de trucos. Estos trucos solo funcionan en algunos casos.

Sin embargo, siempre podemos resolver una ecuación polinómica numéricamente. Una solución numérica es una aproximación, que a menudo se encuentra tomando pasos graduales hacia una respuesta lo suficientemente buena.


En este caso, resulta que sé que en , y que en , .

Como la función es continua, entonces sabemos que el gráfico debe pasar de a en el intervalo .

¡Así que debe haber al menos una raíz en este intervalo!

Encontrar una raíz se puede hacer dividiendo el intervalo por la mitad y, cada vez que lo dividimos por la mitad, verificar en qué intervalo una -valor está por debajo de cero y cuál está por encima de cero. ¿Bastante práctico, verdad?

Finalmente, estamos listos para el teorema:

Tenga en cuenta que es incluso más fuerte de lo que hemos dicho hasta ahora: el teorema promete que todos los valores entre y se alcanzarán.