El logaritmo natural

Hay algunos números en matemáticas que son más queridos que otros. Uno de ellos es el número , también conocido como el número de Euler.

Una función exponencial se ve así:

La más útil es , y la referimos como la función exponencial. Aparece en todas partes cuando se habla de crecimiento natural. A veces, la verás denotada como .

¿Cómo podemos definir esta función? El número , pero los decimales en realidad continúan para siempre, así que no parece que deba ser muy bonito. Sin embargo, resulta ser bastante ordenado.

Veamos un ejemplo. Supongamos que tu banco ofrece un aumento de veces el dinero si lo mantienes en el banco durante un año.

Supongamos además que mantener el dinero durante medio año en el banco te da un interés de , y así sucesivamente para períodos más cortos.

Entonces, mantener el dinero durante un año te daría:

veces lo que pusiste. Sacar el dinero a mitad de año y volver a depositar la nueva cantidad te daría:

veces la cantidad original. ¡Eso es mucho más!

Si eliges sacar el dinero y volver a depositarlo todos los días del año, tendrías esta cantidad de dinero al final del año:

Llamamos a esto una suma binomial. Al escribir todos los términos, uno tiene que multiplicar cada término de cada uno de los paréntesis juntos. De esta manera, terminas con una tonelada de cosas extra, en comparación con si solo sacaras el dinero dos o tres veces.

Haciendo los períodos de tiempo aún más cortos, terminarías con:

veces la cantidad original. Como habrás adivinado, esto añade aún más términos a la suma, que así sigue creciendo. Finalmente, tomando el límite de la expresión anterior, resulta en nuestra definición de :

Una nota al margen: el sistema bancario tiene una protección incorporada contra el tipo de comercio descrito anteriormente. Por lo tanto, para enriquecerse, este método no es recomendado. Sin embargo, el crecimiento exponencial (con diferentes constantes al frente) describe de manera realista fenómenos que abarcan desde el crecimiento bacteriano, el poder de procesamiento de las computadoras, reacciones nucleares y mucho más.

La función exponencial es particularmente interesante debido a algunas propiedades que se aclararán más adelante en este curso. Pero a veces también necesitamos funciones exponenciales con otra base :

Dedicaremos esta sección a establecer algunas reglas para este tipo de función. Pueden parecer numerosas, pero son muy útiles, así que dedíqueles un momento de consideración antes de continuar.

Las funciones exponenciales se pueden dividir en dos categorías:

El primer tipo con y se puede ver a continuación:

Las funciones con una base van al infinito cuando tiende a , y a cuando tiende al infinito.

Si en cambio dejamos y , obtenemos esta forma:

Si , la función va al infinito cuando tiende al infinito, y a cuando tiende al infinito negativo.

Independientemente de la base, todas las funciones exponenciales siguen el mismo patrón con respecto a algunas reglas.

Las siguientes propiedades se relacionan con diferentes valores del exponente:

1)

2)

3)

4)

La segunda regla implica que todos los gráficos exponenciales pasarán por el punto .

Sea y , y sean y números reales. Entonces, se aplican las siguientes reglas:

Cuando estás a punto de comer, descubres que tu pasta carbonara se ha arruinado. ¡Está toda cubierta de moho! Sin embargo, solo la guardaste en el refrigerador durante un par de días.

El moho crece rápido. Si comienzas con un bulto de moho, podrías tener algo así como dos bultos de moho al día siguiente. Al día siguiente, ambos bultos de moho han crecido, y eso comienza un ciclo vicioso.

Si el área del moho aumenta por un factor de cada día, el área total se puede calcular como

Aquí, es el número de días.

es tu número de la suerte, así que intentas calcular cuándo el moho cubrirá cm. Por lo tanto, te encuentras con la ecuación:

Suspiras en desesperación. ¿Cómo debes resolver este tipo de ecuación? Cuando introduces la ecuación en Wolfram Alpha, obtienes:

¿Qué significa aquí ? El logaritmo de , denotado , responde a la pregunta:

- ¿qué potencia de es igual a ? Generalmente no se puede calcular a mano.

El logaritmo también puede considerarse como la función inversa de la función exponencial . Si:

entonces:

En general, requerimos que y .

Aquí están las gráficas de y :

Hay un puñado de reglas de logaritmos, todas las cuales valen la pena memorizar. Aquí están en todo su esplendor:

Mientras lees esto, de repente tienes ganas de tomar un té Earl Grey. Después de hervir el agua y verterla en la taza, te vas a seguir leyendo.

Tendrás que esperar un rato a que el agua se enfríe, o de lo contrario te quemarás la lengua. Recuerda, una vez intentaste beber el té poco después de haber hervido el agua y tu lengua se cubrió toda de ampollas blancas...

Esta vez, quieres estar seguro de que el té no esté demasiado caliente. Una rápida búsqueda en Google revela que la temperatura ideal para beber té es 57°C. ¿Pero cuánto tiempo debes esperar?

La temperatura disminuye más rápido cuando el té está caliente. Obtienes algo así:

Aquí, es el tiempo que ha pasado desde que vertiste el agua. es la temperatura de la habitación, alrededor de °C.

Resulta que esta relación se satisface si:

donde y son constantes. Dado que , . Por simplicidad, asumiremos que la otra constante es solo . Esto es todo lo que necesitamos para calcular el tiempo.

Ok, aquí estamos atascados. Necesitamos usar algo más para resolver este tipo de ecuación: específicamente, el logaritmo natural.

El logaritmo natural de un número , escrito , responde a la pregunta ¿ a qué potencia, es igual a ? Por lo tanto, . También es la función inversa de .

Volviendo a nuestro ejemplo entonces:

Terminamos con horas, o alrededor de minutos. Nuestra elección de la constante, , probablemente significó que nuestra taza tenía algún revestimiento aislante.

Aquí están las gráficas de y :

El logaritmo natural nos permite resolver una variedad de nuevos problemas. Con el logaritmo natural, también podemos reescribir cualquier función exponencial, así:

Uno de los muchos usos prácticos de la función exponencial es definir un grupo especial de funciones, conocidas como funciones hiperbólicas:

Los nombres de las funciones, así como las relaciones entre ellas, sugieren similitudes con las funciones trigonométricas.

La verdad es que, a pesar de parecer bastante diferentes al principio, estas funciones tienen mucho en común con sus respectivos equivalentes trigonométricos.

Desde nuestras definiciones, probar la siguiente identidad hiperbólica es trivial:

Demostración:

La ecuación se parece a la identidad trigonométrica:

Sin embargo, el signo negativo entre las dos expresiones hace que la hipérbola unitaria sea el objeto que conecta y , en lugar de el círculo unitario como para y

Los gráficos de las tres funciones hiperbólicas que hemos definido se ven de la siguiente manera:

Estas funciones aparecen naturalmente en diversas situaciones a nuestro alrededor. Por ejemplo, un cable colgante libremente unido en ambos extremos, seguirá la curva de una función coseno hiperbólico.

Imagina una cuerda para tender la ropa. Justo después de lavar, la ropa mojada y pesada pesará sobre la cuerda y perturbará su forma. Sin embargo, a medida que la ropa se seca y se aligera, la cuerda se asemejará cada vez más a una función coseno hiperbólico.