Optimización

Una de las aplicaciones útiles del cálculo es para encontrar la mejor solución posible a algún problema, a menudo sujeto a ciertas restricciones. De eso se trata la optimización.

Desde maximizar el beneficio de una empresa hasta minimizar el riesgo de cáncer por exposición a la radiación, la optimización es una herramienta útil para la mejora en varios frentes.

Un problema de optimización tiende a consistir en dos pasos:

A menudo, la parte más desafiante de un problema de optimización es definirlo correctamente. Es importante considerar toda la información disponible y usarla de la manera correcta al construir la función de costo. No importa qué tan bien ejecutemos el paso dos si la función no se aplica al problema.

La función de costo generalmente resulta de la relación causal de una variable independiente en una cantidad de interés. Las restricciones resultantes de algún tipo de compensación, donde queremos aprovechar al máximo los recursos limitados disponibles, a veces se pueden incorporar en la función de costo. Otras veces, las restricciones en términos de valores no permitidos definen un intervalo de la variable independiente.

Resolver el problema es análogo a encontrar un extremo, específicamente el mínimo global de la función de costo en el intervalo. Aquí es donde entra en juego el concepto de cálculo, donde usamos la derivada de la función de costo para encontrar sus puntos críticos.

Hay dos opciones cuando se trata de localizar el mínimo global: puede estar en un punto crítico o en uno de los puntos finales.

La función de costo no tiene que representar un costo real en términos de dinero, pero el nombre es preciso en el sentido de que estamos buscando su valor más bajo en algún intervalo.

Incluso en el caso de maximizar una cantidad, generalmente la convertimos en una función de costo multiplicándola por . Lo que antes era el valor más alto ahora se convierte en el más bajo, y nuestra búsqueda de un mínimo comienza.

Un tipo clásico de problemas de optimización es construir la región que da lugar a la mayor área para alguna forma predeterminada con una circunferencia limitada. Considere el siguiente caso:

Una granjera quiere construir el cercado más grande posible para su caballo. Por simplicidad, decide hacerlo rectangular. Además, debido a restricciones presupuestarias, solo se pueden utilizar 400 metros de valla. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del cercado?

Solución:

Primero, consideramos el área de un rectángulo:

donde es el ancho y la altura.

Luego, dado que la circunferencia no puede exceder la longitud total de la valla, podemos escribir en términos de como:

La función del área entonces se convierte en:

Siendo este un caso de maximización, invertimos la función del área para obtener la función de costo:

Tomamos la derivada de la función de costo y la igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

y nos damos cuenta de que es el único punto crítico de la función de costo.

Ahora nos quedan candidatos para el ancho que minimizan el costo, uno de ellos siendo el punto crítico que acabamos de encontrar. Los últimos dos son los puntos finales. Dado que la circunferencia es y el cercado debe ser rectangular, el ancho debe estar entre y , que serán nuestros puntos finales.

El costo más bajo se logra en nuestro punto crítico , lo que maximizará el área del cercado.

Eso se encarga del ancho, ahora el último paso es encontrar la altura del rectángulo:

En conclusión, las dimensiones óptimas serán un cercado cuadrado con un lado de metros.

Hagamos el problema un poco más desafiante. La tarea es en gran medida la misma, pero esta vez, la granjera agrega una condición más.

El caballo necesita acceso al agua, por lo que la granjera quiere hacer un uso inteligente de un río en la propiedad y colocar las esquinas superiores del cercado un poco en el agua. El río tiene la misma forma que la curva de la función , donde el eje se toma como un camino que no puede incluirse en el cercado. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones del cercado para lograr el área máxima en este caso?

Solución:

Queremos encontrar una expresión del área encerrada por la valla. Primero, notemos que el área en el primer cuadrante está dada por

Dado que el área consta de dos de estas partes, el área total del cercado se da por:

Ahora podemos definir nuestra función de costo como:

A continuación, encontramos todos los puntos críticos tomando la derivada y estableciéndola en 0.

Dado que las distancias negativas no tienen sentido, solo nos interesa la solución positiva. Por lo tanto, la base del cercado debe ser de metros de largo y la altura se convierte en metros.

Lo último que necesitamos verificar es que el presupuesto, que permite no más de 400 metros de valla, no se exceda:

Por lo tanto, estas dimensiones están permitidas y hemos optimizado el área del cercado, basándonos en las restricciones dadas.